Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73183 / 75997
↖ ↑ ↗
← S 27.598369°
E 21.003113°		 ← 270.67 m → S 27.598369°
E 21.005859°		 →
↑
270.70 m
↓
↑
270.70 m
↓
S 27.600803°
E 21.003113°		 ← 270.67 m →
73 272 m²		 S 27.600803°
E 21.005859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558345794677734 y=0.579814910888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558345794677734 × 217)
    floor (0.558345794677734 × 131072)
    floor (73183.5)     		tx = 73183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579814910888672 × 217)
    floor (0.579814910888672 × 131072)
    floor (75997.5)     		ty = 75997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73183 / 75997 ti = "17/73183/75997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73183/75997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73183 ÷ 217
    73183 ÷ 131072     		x = 0.558341979980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75997 ÷ 217
    75997 ÷ 131072     		y = 0.579811096191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558341979980469 × 2 - 1) × π
    0.116683959960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.36657347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579811096191406 × 2 - 1) × π
    -0.159622192382812 × 3.1415926535     		Φ = -0.501467906925407
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36657347} λ = 0.36657347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.501467906925407))-π/2
    2×atan(0.605640982298341)-π/2
    2×0.544556960935543-π/2
    1.08911392187109-1.57079632675     		φ = -0.48168240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36657347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.003113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48168240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.598369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73183 KachelY 75997 0.36657347 -0.48168240 21.003113 -27.598369
    Oben rechts KachelX + 1 73184 KachelY 75997 0.36662141 -0.48168240 21.005859 -27.598369
    Unten links KachelX 73183 KachelY + 1 75998 0.36657347 -0.48172489 21.003113 -27.600803
    Unten rechts KachelX + 1 73184 KachelY + 1 75998 0.36662141 -0.48172489 21.005859 -27.600803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48168240--0.48172489) × R
    4.24900000000061e-05 × 6371000     		dl = 270.703790000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48168240--0.48172489) × R
    4.24900000000061e-05 × 6371000     		dr = 270.703790000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36657347-0.36662141) × cos(-0.48168240) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.886216770554993 × 6371000     		do = 270.673412946992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36657347-0.36662141) × cos(-0.48172489) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.886197085378653 × 6371000     		du = 270.667400587441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48168240)-sin(-0.48172489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886216770554993-0.886197085378653)×R²
    abs(0.36662141-0.36657347)×1.96851763406558e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96851763406558e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96851763406558e-05×40589641000000     		ar = 73271.5049637072m²