Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73181 / 78493
↖ ↑ ↗
← S 33.497888°
E 20.997620°		 ← 254.64 m → S 33.497888°
E 21.000366°		 →
↑
254.71 m
↓
↑
254.71 m
↓
S 33.500179°
E 20.997620°		 ← 254.64 m →
64 860 m²		 S 33.500179°
E 21.000366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558330535888672 y=0.598857879638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558330535888672 × 217)
    floor (0.558330535888672 × 131072)
    floor (73181.5)     		tx = 73181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598857879638672 × 217)
    floor (0.598857879638672 × 131072)
    floor (78493.5)     		ty = 78493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73181 / 78493 ti = "17/73181/78493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73181/78493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73181 ÷ 217
    73181 ÷ 131072     		x = 0.558326721191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78493 ÷ 217
    78493 ÷ 131072     		y = 0.598854064941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558326721191406 × 2 - 1) × π
    0.116653442382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.36647760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598854064941406 × 2 - 1) × π
    -0.197708129882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.621118408377068
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36647760} λ = 0.36647760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.621118408377068))-π/2
    2×atan(0.537343132344364)-π/2
    2×0.493073942916642-π/2
    0.986147885833284-1.57079632675     		φ = -0.58464844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36647760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.997620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58464844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.497888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73181 KachelY 78493 0.36647760 -0.58464844 20.997620 -33.497888
    Oben rechts KachelX + 1 73182 KachelY 78493 0.36652553 -0.58464844 21.000366 -33.497888
    Unten links KachelX 73181 KachelY + 1 78494 0.36647760 -0.58468842 20.997620 -33.500179
    Unten rechts KachelX + 1 73182 KachelY + 1 78494 0.36652553 -0.58468842 21.000366 -33.500179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58464844--0.58468842) × R
    3.99799999999395e-05 × 6371000     		dl = 254.712579999615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58464844--0.58468842) × R
    3.99799999999395e-05 × 6371000     		dr = 254.712579999615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36647760-0.36652553) × cos(-0.58464844) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.833906165576805 × 6371000     		do = 254.64327954991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36647760-0.36652553) × cos(-0.58468842) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.833884099698542 × 6371000     		du = 254.63654146853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58464844)-sin(-0.58468842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.833906165576805-0.833884099698542)×R²
    abs(0.36652553-0.36647760)×2.20658782627003e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.20658782627003e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.20658782627003e-05×40589641000000     		ar = 64859.9885852603m²