Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7318 / 10138
↖ ↑ ↗
← S 39.266285°
W 19.204101°		 ← 1 891.57 m → S 39.266285°
W 19.182129°		 →
↑
1 891.36 m
↓
↑
1 891.36 m
↓
S 39.283294°
W 19.204101°		 ← 1 891.11 m →
3 577 200 m²		 S 39.283294°
W 19.182129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446685791015625 y=0.618804931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446685791015625 × 214)
    floor (0.446685791015625 × 16384)
    floor (7318.5)     		tx = 7318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618804931640625 × 214)
    floor (0.618804931640625 × 16384)
    floor (10138.5)     		ty = 10138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7318 / 10138 ti = "14/7318/10138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7318/10138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7318 ÷ 214
    7318 ÷ 16384     		x = 0.4466552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10138 ÷ 214
    10138 ÷ 16384     		y = 0.6187744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4466552734375 × 2 - 1) × π
    -0.106689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33517480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6187744140625 × 2 - 1) × π
    -0.237548828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.746281653285034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33517480} λ = -0.33517480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.746281653285034))-π/2
    2×atan(0.474126244905976)-π/2
    2×0.442735189310336-π/2
    0.885470378620672-1.57079632675     		φ = -0.68532595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33517480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.204101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68532595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.266285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7318 KachelY 10138 -0.33517480 -0.68532595 -19.204101 -39.266285
    Oben rechts KachelX + 1 7319 KachelY 10138 -0.33479131 -0.68532595 -19.182129 -39.266285
    Unten links KachelX 7318 KachelY + 1 10139 -0.33517480 -0.68562282 -19.204101 -39.283294
    Unten rechts KachelX + 1 7319 KachelY + 1 10139 -0.33479131 -0.68562282 -19.182129 -39.283294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68532595--0.68562282) × R
    0.000296870000000005 × 6371000     		dl = 1891.35877000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68532595--0.68562282) × R
    0.000296870000000005 × 6371000     		dr = 1891.35877000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33517480--0.33479131) × cos(-0.68532595) × R
    0.000383489999999986 × 0.77421278618903 × 6371000     		do = 1891.56812982408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33517480--0.33479131) × cos(-0.68562282) × R
    0.000383489999999986 × 0.774024855511972 × 6371000     		du = 1891.10897481439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68532595)-sin(-0.68562282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.77421278618903-0.774024855511972)×R²
    abs(-0.33479131--0.33517480)×0.000187930677057913×R²
    0.000383489999999986×0.000187930677057913×6371000²
    0.000383489999999986×0.000187930677057913×40589641000000     		ar = 3577199.78424046m²