Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73178 / 78464
↖ ↑ ↗
← S 33.431441°
E 20.989380°		 ← 254.84 m → S 33.431441°
E 20.992126°		 →
↑
254.90 m
↓
↑
254.90 m
↓
S 33.433733°
E 20.989380°		 ← 254.83 m →
64 958 m²		 S 33.433733°
E 20.992126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558307647705078 y=0.598636627197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558307647705078 × 217)
    floor (0.558307647705078 × 131072)
    floor (73178.5)     		tx = 73178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598636627197266 × 217)
    floor (0.598636627197266 × 131072)
    floor (78464.5)     		ty = 78464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73178 / 78464 ti = "17/73178/78464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73178/78464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73178 ÷ 217
    73178 ÷ 131072     		x = 0.558303833007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78464 ÷ 217
    78464 ÷ 131072     		y = 0.5986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558303833007812 × 2 - 1) × π
    0.116607666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36633379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5986328125 × 2 - 1) × π
    -0.197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.619728238288086
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36633379} λ = 0.36633379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.619728238288086))-π/2
    2×atan(0.538090650162539)-π/2
    2×0.49365380090828-π/2
    0.98730760181656-1.57079632675     		φ = -0.58348872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36633379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.989380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58348872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.431441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73178 KachelY 78464 0.36633379 -0.58348872 20.989380 -33.431441
    Oben rechts KachelX + 1 73179 KachelY 78464 0.36638172 -0.58348872 20.992126 -33.431441
    Unten links KachelX 73178 KachelY + 1 78465 0.36633379 -0.58352873 20.989380 -33.433733
    Unten rechts KachelX + 1 73179 KachelY + 1 78465 0.36638172 -0.58352873 20.992126 -33.433733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58348872--0.58352873) × R
    4.00100000000903e-05 × 6371000     		dl = 254.903710000575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58348872--0.58352873) × R
    4.00100000000903e-05 × 6371000     		dr = 254.903710000575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36633379-0.36638172) × cos(-0.58348872) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.834545661366529 × 6371000     		do = 254.838557282732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36633379-0.36638172) × cos(-0.58352873) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.834523617637985 × 6371000     		du = 254.831825965035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58348872)-sin(-0.58352873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.834545661366529-0.834523617637985)×R²
    abs(0.36638172-0.36633379)×2.20437285446407e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.20437285446407e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.20437285446407e-05×40589641000000     		ar = 64958.4357923356m²