Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73173 / 78483
↖ ↑ ↗
← S 33.474981°
E 20.975647°		 ← 254.76 m → S 33.474981°
E 20.978394°		 →
↑
254.71 m
↓
↑
254.71 m
↓
S 33.477272°
E 20.975647°		 ← 254.76 m →
64 891 m²		 S 33.477272°
E 20.978394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558269500732422 y=0.598781585693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558269500732422 × 217)
    floor (0.558269500732422 × 131072)
    floor (73173.5)     		tx = 73173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598781585693359 × 217)
    floor (0.598781585693359 × 131072)
    floor (78483.5)     		ty = 78483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73173 / 78483 ti = "17/73173/78483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73173/78483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73173 ÷ 217
    73173 ÷ 131072     		x = 0.558265686035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78483 ÷ 217
    78483 ÷ 131072     		y = 0.598777770996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558265686035156 × 2 - 1) × π
    0.116531372070312 × 3.1415926535     		Λ = 0.36609410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598777770996094 × 2 - 1) × π
    -0.197555541992188 × 3.1415926535     		Φ = -0.620639039380867
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36609410} λ = 0.36609410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.620639039380867))-π/2
    2×atan(0.537600779731482)-π/2
    2×0.493273843734338-π/2
    0.986547687468676-1.57079632675     		φ = -0.58424864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36609410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.975647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58424864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.474981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73173 KachelY 78483 0.36609410 -0.58424864 20.975647 -33.474981
    Oben rechts KachelX + 1 73174 KachelY 78483 0.36614204 -0.58424864 20.978394 -33.474981
    Unten links KachelX 73173 KachelY + 1 78484 0.36609410 -0.58428862 20.975647 -33.477272
    Unten rechts KachelX + 1 73174 KachelY + 1 78484 0.36614204 -0.58428862 20.978394 -33.477272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58424864--0.58428862) × R
    3.99800000000505e-05 × 6371000     		dl = 254.712580000322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58424864--0.58428862) × R
    3.99800000000505e-05 × 6371000     		dr = 254.712580000322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36609410-0.36614204) × cos(-0.58424864) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.834126751043237 × 6371000     		do = 254.763780191304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36609410-0.36614204) × cos(-0.58428862) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.83410469849572 × 6371000     		du = 254.75704477566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58424864)-sin(-0.58428862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.834126751043237-0.83410469849572)×R²
    abs(0.36614204-0.36609410)×2.20525475165267e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20525475165267e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20525475165267e-05×40589641000000     		ar = 64890.6819542241m²