Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73170 / 77379
↖ ↑ ↗
← S 30.909295°
E 20.967407°		 ← 262.05 m → S 30.909295°
E 20.970154°		 →
↑
262.04 m
↓
↑
262.04 m
↓
S 30.911651°
E 20.967407°		 ← 262.04 m →
68 666 m²		 S 30.911651°
E 20.970154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558246612548828 y=0.590358734130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558246612548828 × 217)
    floor (0.558246612548828 × 131072)
    floor (73170.5)     		tx = 73170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590358734130859 × 217)
    floor (0.590358734130859 × 131072)
    floor (77379.5)     		ty = 77379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73170 / 77379 ti = "17/73170/77379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73170/77379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73170 ÷ 217
    73170 ÷ 131072     		x = 0.558242797851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77379 ÷ 217
    77379 ÷ 131072     		y = 0.590354919433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558242797851562 × 2 - 1) × π
    0.116485595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.36595029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590354919433594 × 2 - 1) × π
    -0.180709838867188 × 3.1415926535     		Φ = -0.567716702200325
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36595029} λ = 0.36595029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.567716702200325))-π/2
    2×atan(0.566818176980981)-π/2
    2×0.515663684011711-π/2
    1.03132736802342-1.57079632675     		φ = -0.53946896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36595029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.967407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53946896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.909295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73170 KachelY 77379 0.36595029 -0.53946896 20.967407 -30.909295
    Oben rechts KachelX + 1 73171 KachelY 77379 0.36599823 -0.53946896 20.970154 -30.909295
    Unten links KachelX 73170 KachelY + 1 77380 0.36595029 -0.53951009 20.967407 -30.911651
    Unten rechts KachelX + 1 73171 KachelY + 1 77380 0.36599823 -0.53951009 20.970154 -30.911651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53946896--0.53951009) × R
    4.11300000000558e-05 × 6371000     		dl = 262.039230000356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53946896--0.53951009) × R
    4.11300000000558e-05 × 6371000     		dr = 262.039230000356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36595029-0.36599823) × cos(-0.53946896) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.857981587189585 × 6371000     		do = 262.049661173582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36595029-0.36599823) × cos(-0.53951009) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.857960458787316 × 6371000     		du = 262.043208015684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53946896)-sin(-0.53951009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857981587189585-0.857960458787316)×R²
    abs(0.36599823-0.36595029)×2.11284022693103e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.11284022693103e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.11284022693103e-05×40589641000000     		ar = 68666.445955244m²