Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7317 / 10766
↖ ↑ ↗
← S 49.124219°
W 19.226074°		 ← 1 598.93 m → S 49.124219°
W 19.204101°		 →
↑
1 598.68 m
↓
↑
1 598.68 m
↓
S 49.138597°
W 19.226074°		 ← 1 598.47 m →
2 555 804 m²		 S 49.138597°
W 19.204101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446624755859375 y=0.657135009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446624755859375 × 214)
    floor (0.446624755859375 × 16384)
    floor (7317.5)     		tx = 7317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657135009765625 × 214)
    floor (0.657135009765625 × 16384)
    floor (10766.5)     		ty = 10766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7317 / 10766 ti = "14/7317/10766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7317/10766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7317 ÷ 214
    7317 ÷ 16384     		x = 0.44659423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10766 ÷ 214
    10766 ÷ 16384     		y = 0.6571044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44659423828125 × 2 - 1) × π
    -0.1068115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33555830
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6571044921875 × 2 - 1) × π
    -0.314208984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.987116636976196
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33555830} λ = -0.33555830}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.987116636976196))-π/2
    2×atan(0.372649627602931)-π/2
    2×0.356708479226933-π/2
    0.713416958453865-1.57079632675     		φ = -0.85737937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33555830} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.226074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85737937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.124219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7317 KachelY 10766 -0.33555830 -0.85737937 -19.226074 -49.124219
    Oben rechts KachelX + 1 7318 KachelY 10766 -0.33517480 -0.85737937 -19.204101 -49.124219
    Unten links KachelX 7317 KachelY + 1 10767 -0.33555830 -0.85763030 -19.226074 -49.138597
    Unten rechts KachelX + 1 7318 KachelY + 1 10767 -0.33517480 -0.85763030 -19.204101 -49.138597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85737937--0.85763030) × R
    0.000250929999999983 × 6371000     		dl = 1598.67502999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85737937--0.85763030) × R
    0.000250929999999983 × 6371000     		dr = 1598.67502999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33555830--0.33517480) × cos(-0.85737937) × R
    0.000383499999999981 × 0.654421250474776 × 6371000     		do = 1598.93337122806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33555830--0.33517480) × cos(-0.85763030) × R
    0.000383499999999981 × 0.65423149413128 × 6371000     		du = 1598.46974363375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85737937)-sin(-0.85763030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654421250474776-0.65423149413128)×R²
    abs(-0.33517480--0.33555830)×0.000189756343495828×R²
    0.000383499999999981×0.000189756343495828×6371000²
    0.000383499999999981×0.000189756343495828×40589641000000     		ar = 2555804.27369701m²