Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73168 / 78480
↖ ↑ ↗
← S 33.468108°
E 20.961914°		 ← 254.73 m → S 33.468108°
E 20.964660°		 →
↑
254.78 m
↓
↑
254.78 m
↓
S 33.470399°
E 20.961914°		 ← 254.72 m →
64 899 m²		 S 33.470399°
E 20.964660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558231353759766 y=0.598758697509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558231353759766 × 217)
    floor (0.558231353759766 × 131072)
    floor (73168.5)     		tx = 73168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598758697509766 × 217)
    floor (0.598758697509766 × 131072)
    floor (78480.5)     		ty = 78480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73168 / 78480 ti = "17/73168/78480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73168/78480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73168 ÷ 217
    73168 ÷ 131072     		x = 0.5582275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78480 ÷ 217
    78480 ÷ 131072     		y = 0.5987548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5582275390625 × 2 - 1) × π
    0.116455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.36585442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5987548828125 × 2 - 1) × π
    -0.197509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.620495228682007
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36585442} λ = 0.36585442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.620495228682007))-π/2
    2×atan(0.537678098034789)-π/2
    2×0.493333824288583-π/2
    0.986667648577166-1.57079632675     		φ = -0.58412868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36585442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.961914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58412868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.468108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73168 KachelY 78480 0.36585442 -0.58412868 20.961914 -33.468108
    Oben rechts KachelX + 1 73169 KachelY 78480 0.36590235 -0.58412868 20.964660 -33.468108
    Unten links KachelX 73168 KachelY + 1 78481 0.36585442 -0.58416867 20.961914 -33.470399
    Unten rechts KachelX + 1 73169 KachelY + 1 78481 0.36590235 -0.58416867 20.964660 -33.470399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58412868--0.58416867) × R
    3.99899999999898e-05 × 6371000     		dl = 254.776289999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58412868--0.58416867) × R
    3.99899999999898e-05 × 6371000     		dr = 254.776289999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36585442-0.36590235) × cos(-0.58412868) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.834192911715489 × 6371000     		do = 254.730840932913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36585442-0.36590235) × cos(-0.58416867) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.83417085765349 × 6371000     		du = 254.724106459772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58412868)-sin(-0.58416867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.834192911715489-0.83417085765349)×R²
    abs(0.36590235-0.36585442)×2.20540619990661e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.20540619990661e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.20540619990661e-05×40589641000000     		ar = 64898.5207181868m²