Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73166 / 77382
↖ ↑ ↗
← S 30.916364°
E 20.956421°		 ← 262.03 m → S 30.916364°
E 20.959167°		 →
↑
262.04 m
↓
↑
262.04 m
↓
S 30.918720°
E 20.956421°		 ← 262.02 m →
68 661 m²		 S 30.918720°
E 20.959167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558216094970703 y=0.590381622314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558216094970703 × 217)
    floor (0.558216094970703 × 131072)
    floor (73166.5)     		tx = 73166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590381622314453 × 217)
    floor (0.590381622314453 × 131072)
    floor (77382.5)     		ty = 77382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73166 / 77382 ti = "17/73166/77382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73166/77382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73166 ÷ 217
    73166 ÷ 131072     		x = 0.558212280273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77382 ÷ 217
    77382 ÷ 131072     		y = 0.590377807617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558212280273438 × 2 - 1) × π
    0.116424560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36575854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590377807617188 × 2 - 1) × π
    -0.180755615234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.567860512899185
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36575854} λ = 0.36575854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.567860512899185))-π/2
    2×atan(0.566736668323872)-π/2
    2×0.515601992824667-π/2
    1.03120398564933-1.57079632675     		φ = -0.53959234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36575854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.956421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53959234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.916364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73166 KachelY 77382 0.36575854 -0.53959234 20.956421 -30.916364
    Oben rechts KachelX + 1 73167 KachelY 77382 0.36580648 -0.53959234 20.959167 -30.916364
    Unten links KachelX 73166 KachelY + 1 77383 0.36575854 -0.53963347 20.956421 -30.918720
    Unten rechts KachelX + 1 73167 KachelY + 1 77383 0.36580648 -0.53963347 20.959167 -30.918720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53959234--0.53963347) × R
    4.11299999999448e-05 × 6371000     		dl = 262.039229999648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53959234--0.53963347) × R
    4.11299999999448e-05 × 6371000     		dr = 262.039229999648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36575854-0.36580648) × cos(-0.53959234) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.8579182027665 × 6371000     		do = 262.030301939256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36575854-0.36580648) × cos(-0.53963347) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.857897070010515 × 6371000     		du = 262.023847451622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53959234)-sin(-0.53963347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8579182027665-0.857897070010515)×R²
    abs(0.36580648-0.36575854)×2.11327559848096e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.11327559848096e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.11327559848096e-05×40589641000000     		ar = 68661.3729019098m²