Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73165 / 76735
↖ ↑ ↗
← S 29.379782°
E 20.953674°		 ← 266.09 m → S 29.379782°
E 20.956421°		 →
↑
266.12 m
↓
↑
266.12 m
↓
S 29.382175°
E 20.953674°		 ← 266.08 m →
70 810 m²		 S 29.382175°
E 20.956421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558208465576172 y=0.585445404052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558208465576172 × 217)
    floor (0.558208465576172 × 131072)
    floor (73165.5)     		tx = 73165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585445404052734 × 217)
    floor (0.585445404052734 × 131072)
    floor (76735.5)     		ty = 76735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73165 / 76735 ti = "17/73165/76735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73165/76735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73165 ÷ 217
    73165 ÷ 131072     		x = 0.558204650878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76735 ÷ 217
    76735 ÷ 131072     		y = 0.585441589355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558204650878906 × 2 - 1) × π
    0.116409301757812 × 3.1415926535     		Λ = 0.36571061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585441589355469 × 2 - 1) × π
    -0.170883178710938 × 3.1415926535     		Φ = -0.536845338845009
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36571061} λ = 0.36571061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.536845338845009))-π/2
    2×atan(0.584589528422892)-π/2
    2×0.52901120072439-π/2
    1.05802240144878-1.57079632675     		φ = -0.51277393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36571061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.953674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51277393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.379782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73165 KachelY 76735 0.36571061 -0.51277393 20.953674 -29.379782
    Oben rechts KachelX + 1 73166 KachelY 76735 0.36575854 -0.51277393 20.956421 -29.379782
    Unten links KachelX 73165 KachelY + 1 76736 0.36571061 -0.51281570 20.953674 -29.382175
    Unten rechts KachelX + 1 73166 KachelY + 1 76736 0.36575854 -0.51281570 20.956421 -29.382175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51277393--0.51281570) × R
    4.1769999999941e-05 × 6371000     		dl = 266.116669999624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51277393--0.51281570) × R
    4.1769999999941e-05 × 6371000     		dr = 266.116669999624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36571061-0.36575854) × cos(-0.51277393) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.87138698212592 × 6371000     		do = 266.088497777707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36571061-0.36575854) × cos(-0.51281570) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.871366489158399 × 6371000     		du = 266.082240003545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51277393)-sin(-0.51281570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87138698212592-0.871366489158399)×R²
    abs(0.36575854-0.36571061)×2.04929675204912e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.04929675204912e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.04929675204912e-05×40589641000000     		ar = 70809.7523151661m²