Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73162 / 78393
↖ ↑ ↗
← S 33.268546°
E 20.945435°		 ← 255.32 m → S 33.268546°
E 20.948181°		 →
↑
255.35 m
↓
↑
255.35 m
↓
S 33.270843°
E 20.945435°		 ← 255.31 m →
65 194 m²		 S 33.270843°
E 20.948181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558185577392578 y=0.598094940185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558185577392578 × 217)
    floor (0.558185577392578 × 131072)
    floor (73162.5)     		tx = 73162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598094940185547 × 217)
    floor (0.598094940185547 × 131072)
    floor (78393.5)     		ty = 78393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73162 / 78393 ti = "17/73162/78393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73162/78393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73162 ÷ 217
    73162 ÷ 131072     		x = 0.558181762695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78393 ÷ 217
    78393 ÷ 131072     		y = 0.598091125488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558181762695312 × 2 - 1) × π
    0.116363525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36556680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598091125488281 × 2 - 1) × π
    -0.196182250976562 × 3.1415926535     		Φ = -0.616324718415062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36556680} λ = 0.36556680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.616324718415062))-π/2
    2×atan(0.539925172529605)-π/2
    2×0.495075327721028-π/2
    0.990150655442056-1.57079632675     		φ = -0.58064567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36556680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.945435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58064567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.268546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73162 KachelY 78393 0.36556680 -0.58064567 20.945435 -33.268546
    Oben rechts KachelX + 1 73163 KachelY 78393 0.36561473 -0.58064567 20.948181 -33.268546
    Unten links KachelX 73162 KachelY + 1 78394 0.36556680 -0.58068575 20.945435 -33.270843
    Unten rechts KachelX + 1 73163 KachelY + 1 78394 0.36561473 -0.58068575 20.948181 -33.270843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58064567--0.58068575) × R
    4.00799999999979e-05 × 6371000     		dl = 255.349679999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58064567--0.58068575) × R
    4.00799999999979e-05 × 6371000     		dr = 255.349679999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36556680-0.36561473) × cos(-0.58064567) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.836108632968158 × 6371000     		do = 255.315829463542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36556680-0.36561473) × cos(-0.58068575) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.836086645855432 × 6371000     		du = 255.309115434167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58064567)-sin(-0.58068575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.836108632968158-0.836086645855432)×R²
    abs(0.36561473-0.36556680)×2.19871127257187e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.19871127257187e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.19871127257187e-05×40589641000000     		ar = 65193.9581487241m²