Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73161 / 77375
↖ ↑ ↗
← S 30.899868°
E 20.942688°		 ← 262.08 m → S 30.899868°
E 20.945435°		 →
↑
262.10 m
↓
↑
262.10 m
↓
S 30.902225°
E 20.942688°		 ← 262.07 m →
68 690 m²		 S 30.902225°
E 20.945435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558177947998047 y=0.590328216552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558177947998047 × 217)
    floor (0.558177947998047 × 131072)
    floor (73161.5)     		tx = 73161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590328216552734 × 217)
    floor (0.590328216552734 × 131072)
    floor (77375.5)     		ty = 77375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73161 / 77375 ti = "17/73161/77375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73161/77375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73161 ÷ 217
    73161 ÷ 131072     		x = 0.558174133300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77375 ÷ 217
    77375 ÷ 131072     		y = 0.590324401855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558174133300781 × 2 - 1) × π
    0.116348266601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.36551886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590324401855469 × 2 - 1) × π
    -0.180648803710938 × 3.1415926535     		Φ = -0.567524954601845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36551886} λ = 0.36551886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.567524954601845))-π/2
    2×atan(0.566926873426001)-π/2
    2×0.515745946017056-π/2
    1.03149189203411-1.57079632675     		φ = -0.53930443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36551886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.942688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53930443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.899868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73161 KachelY 77375 0.36551886 -0.53930443 20.942688 -30.899868
    Oben rechts KachelX + 1 73162 KachelY 77375 0.36556680 -0.53930443 20.945435 -30.899868
    Unten links KachelX 73161 KachelY + 1 77376 0.36551886 -0.53934557 20.942688 -30.902225
    Unten rechts KachelX + 1 73162 KachelY + 1 77376 0.36556680 -0.53934557 20.945435 -30.902225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53930443--0.53934557) × R
    4.11400000001061e-05 × 6371000     		dl = 262.102940000676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53930443--0.53934557) × R
    4.11400000001061e-05 × 6371000     		dr = 262.102940000676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36551886-0.36556680) × cos(-0.53930443) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.858066091419421 × 6371000     		do = 262.075470940816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36551886-0.36556680) × cos(-0.53934557) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.858044963687684 × 6371000     		du = 262.069017987716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53930443)-sin(-0.53934557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858066091419421-0.858044963687684)×R²
    abs(0.36556680-0.36551886)×2.1127731737236e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.1127731737236e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.1127731737236e-05×40589641000000     		ar = 68689.9057762606m²