Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73160 / 78360
↖ ↑ ↗
← S 33.192731°
E 20.939941°		 ← 255.59 m → S 33.192731°
E 20.942688°		 →
↑
255.60 m
↓
↑
255.60 m
↓
S 33.195029°
E 20.939941°		 ← 255.58 m →
65 329 m²		 S 33.195029°
E 20.942688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558170318603516 y=0.597843170166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558170318603516 × 217)
    floor (0.558170318603516 × 131072)
    floor (73160.5)     		tx = 73160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597843170166016 × 217)
    floor (0.597843170166016 × 131072)
    floor (78360.5)     		ty = 78360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73160 / 78360 ti = "17/73160/78360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73160/78360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73160 ÷ 217
    73160 ÷ 131072     		x = 0.55816650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78360 ÷ 217
    78360 ÷ 131072     		y = 0.59783935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55816650390625 × 2 - 1) × π
    0.1163330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.36547092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59783935546875 × 2 - 1) × π
    -0.1956787109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.6147428007276
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36547092} λ = 0.36547092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.6147428007276))-π/2
    2×atan(0.540779965637847)-π/2
    2×0.495736942072363-π/2
    0.991473884144726-1.57079632675     		φ = -0.57932244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36547092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.939941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57932244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.192731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73160 KachelY 78360 0.36547092 -0.57932244 20.939941 -33.192731
    Oben rechts KachelX + 1 73161 KachelY 78360 0.36551886 -0.57932244 20.942688 -33.192731
    Unten links KachelX 73160 KachelY + 1 78361 0.36547092 -0.57936256 20.939941 -33.195029
    Unten rechts KachelX + 1 73161 KachelY + 1 78361 0.36551886 -0.57936256 20.942688 -33.195029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57932244--0.57936256) × R
    4.01199999999768e-05 × 6371000     		dl = 255.604519999852m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57932244--0.57936256) × R
    4.01199999999768e-05 × 6371000     		dr = 255.604519999852m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36547092-0.36551886) × cos(-0.57932244) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.8368337769806 × 6371000     		do = 255.590575591423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36547092-0.36551886) × cos(-0.57936256) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.836811812329973 × 6371000     		du = 255.583867021751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57932244)-sin(-0.57936256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8368337769806-0.836811812329973)×R²
    abs(0.36551886-0.36547092)×2.19646506270932e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19646506270932e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19646506270932e-05×40589641000000     		ar = 65329.2490290487m²