Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73152 / 78432
↖ ↑ ↗
← S 33.358062°
E 20.917969°		 ← 255.05 m → S 33.358062°
E 20.920715°		 →
↑
255.09 m
↓
↑
255.09 m
↓
S 33.360356°
E 20.917969°		 ← 255.05 m →
65 062 m²		 S 33.360356°
E 20.920715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558109283447266 y=0.598392486572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558109283447266 × 217)
    floor (0.558109283447266 × 131072)
    floor (73152.5)     		tx = 73152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598392486572266 × 217)
    floor (0.598392486572266 × 131072)
    floor (78432.5)     		ty = 78432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73152 / 78432 ti = "17/73152/78432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73152/78432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73152 ÷ 217
    73152 ÷ 131072     		x = 0.55810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78432 ÷ 217
    78432 ÷ 131072     		y = 0.598388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55810546875 × 2 - 1) × π
    0.1162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36508743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598388671875 × 2 - 1) × π
    -0.19677734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.618194257500244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36508743} λ = 0.36508743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.618194257500244))-π/2
    2×atan(0.538916704295608)-π/2
    2×0.494294159791767-π/2
    0.988588319583534-1.57079632675     		φ = -0.58220801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36508743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.917969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58220801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.358062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73152 KachelY 78432 0.36508743 -0.58220801 20.917969 -33.358062
    Oben rechts KachelX + 1 73153 KachelY 78432 0.36513536 -0.58220801 20.920715 -33.358062
    Unten links KachelX 73152 KachelY + 1 78433 0.36508743 -0.58224805 20.917969 -33.360356
    Unten rechts KachelX + 1 73153 KachelY + 1 78433 0.36513536 -0.58224805 20.920715 -33.360356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58220801--0.58224805) × R
    4.00400000000189e-05 × 6371000     		dl = 255.094840000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58220801--0.58224805) × R
    4.00400000000189e-05 × 6371000     		dr = 255.094840000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36508743-0.36513536) × cos(-0.58220801) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.835250569559969 × 6371000     		do = 255.053809479645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36508743-0.36513536) × cos(-0.58224805) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.835228552114965 × 6371000     		du = 255.047086187943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58220801)-sin(-0.58224805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835250569559969-0.835228552114965)×R²
    abs(0.36513536-0.36508743)×2.20174450041855e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.20174450041855e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.20174450041855e-05×40589641000000     		ar = 65062.0531906834m²