Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73151 / 78462
↖ ↑ ↗
← S 33.426857°
E 20.915222°		 ← 254.91 m → S 33.426857°
E 20.917969°		 →
↑
254.90 m
↓
↑
254.90 m
↓
S 33.429149°
E 20.915222°		 ← 254.90 m →
64 975 m²		 S 33.429149°
E 20.917969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558101654052734 y=0.598621368408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558101654052734 × 217)
    floor (0.558101654052734 × 131072)
    floor (73151.5)     		tx = 73151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598621368408203 × 217)
    floor (0.598621368408203 × 131072)
    floor (78462.5)     		ty = 78462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73151 / 78462 ti = "17/73151/78462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73151/78462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73151 ÷ 217
    73151 ÷ 131072     		x = 0.558097839355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78462 ÷ 217
    78462 ÷ 131072     		y = 0.598617553710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558097839355469 × 2 - 1) × π
    0.116195678710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.36503949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598617553710938 × 2 - 1) × π
    -0.197235107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.619632364488846
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36503949} λ = 0.36503949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.619632364488846))-π/2
    2×atan(0.538142241430591)-π/2
    2×0.493693807496279-π/2
    0.987387614992559-1.57079632675     		φ = -0.58340871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36503949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.915222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58340871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.426857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73151 KachelY 78462 0.36503949 -0.58340871 20.915222 -33.426857
    Oben rechts KachelX + 1 73152 KachelY 78462 0.36508743 -0.58340871 20.917969 -33.426857
    Unten links KachelX 73151 KachelY + 1 78463 0.36503949 -0.58344872 20.915222 -33.429149
    Unten rechts KachelX + 1 73152 KachelY + 1 78463 0.36508743 -0.58344872 20.917969 -33.429149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58340871--0.58344872) × R
    4.00099999999792e-05 × 6371000     		dl = 254.903709999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58340871--0.58344872) × R
    4.00099999999792e-05 × 6371000     		dr = 254.903709999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36503949-0.36508743) × cos(-0.58340871) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.834589739307041 × 6371000     		do = 254.905188724093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36503949-0.36508743) × cos(-0.58344872) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.834567698250079 × 6371000     		du = 254.89845681796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58340871)-sin(-0.58344872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.834589739307041-0.834567698250079)×R²
    abs(0.36508743-0.36503949)×2.20410569616858e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20410569616858e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20410569616858e-05×40589641000000     		ar = 64975.420318882m²