Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73151 / 78454
↖ ↑ ↗
← S 33.408517°
E 20.915222°		 ← 254.96 m → S 33.408517°
E 20.917969°		 →
↑
254.90 m
↓
↑
254.90 m
↓
S 33.410809°
E 20.915222°		 ← 254.95 m →
64 989 m²		 S 33.410809°
E 20.917969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558101654052734 y=0.598560333251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558101654052734 × 217)
    floor (0.558101654052734 × 131072)
    floor (73151.5)     		tx = 73151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598560333251953 × 217)
    floor (0.598560333251953 × 131072)
    floor (78454.5)     		ty = 78454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73151 / 78454 ti = "17/73151/78454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73151/78454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73151 ÷ 217
    73151 ÷ 131072     		x = 0.558097839355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78454 ÷ 217
    78454 ÷ 131072     		y = 0.598556518554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558097839355469 × 2 - 1) × π
    0.116195678710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.36503949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598556518554688 × 2 - 1) × π
    -0.197113037109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.619248869291885
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36503949} λ = 0.36503949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.619248869291885))-π/2
    2×atan(0.538348655972425)-π/2
    2×0.493853854976546-π/2
    0.987707709953093-1.57079632675     		φ = -0.58308862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36503949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.915222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58308862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.408517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73151 KachelY 78454 0.36503949 -0.58308862 20.915222 -33.408517
    Oben rechts KachelX + 1 73152 KachelY 78454 0.36508743 -0.58308862 20.917969 -33.408517
    Unten links KachelX 73151 KachelY + 1 78455 0.36503949 -0.58312863 20.915222 -33.410809
    Unten rechts KachelX + 1 73152 KachelY + 1 78455 0.36508743 -0.58312863 20.917969 -33.410809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58308862--0.58312863) × R
    4.00100000000903e-05 × 6371000     		dl = 254.903710000575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58308862--0.58312863) × R
    4.00100000000903e-05 × 6371000     		dr = 254.903710000575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36503949-0.36508743) × cos(-0.58308862) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.834766025169411 × 6371000     		do = 254.959030964059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36503949-0.36508743) × cos(-0.58312863) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.834743994801861 × 6371000     		du = 254.952302322747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58308862)-sin(-0.58312863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.834766025169411-0.834743994801861)×R²
    abs(0.36508743-0.36503949)×2.20303675492195e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20303675492195e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20303675492195e-05×40589641000000     		ar = 64989.1453216987m²