Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7315 / 4682
↖ ↑ ↗
← N 60.823494°
W 19.270020°		 ← 1 191.10 m → N 60.823494°
W 19.248047°		 →
↑
1 191.31 m
↓
↑
1 191.31 m
↓
N 60.812781°
W 19.270020°		 ← 1 191.50 m →
1 419 214 m²		 N 60.812781°
W 19.248047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446502685546875 y=0.285797119140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446502685546875 × 214)
    floor (0.446502685546875 × 16384)
    floor (7315.5)     		tx = 7315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.285797119140625 × 214)
    floor (0.285797119140625 × 16384)
    floor (4682.5)     		ty = 4682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7315 / 4682 ti = "14/7315/4682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7315/4682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7315 ÷ 214
    7315 ÷ 16384     		x = 0.44647216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4682 ÷ 214
    4682 ÷ 16384     		y = 0.2857666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44647216796875 × 2 - 1) × π
    -0.1070556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33632529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2857666015625 × 2 - 1) × π
    0.428466796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.34606814133118
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33632529} λ = -0.33632529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34606814133118))-π/2
    2×atan(3.84228845660374)-π/2
    2×1.31618328272353-π/2
    2.63236656544707-1.57079632675     		φ = 1.06157024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33632529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.270020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06157024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.823494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7315 KachelY 4682 -0.33632529 1.06157024 -19.270020 60.823494
    Oben rechts KachelX + 1 7316 KachelY 4682 -0.33594179 1.06157024 -19.248047 60.823494
    Unten links KachelX 7315 KachelY + 1 4683 -0.33632529 1.06138325 -19.270020 60.812781
    Unten rechts KachelX + 1 7316 KachelY + 1 4683 -0.33594179 1.06138325 -19.248047 60.812781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06157024-1.06138325) × R
    0.000186989999999998 × 6371000     		dl = 1191.31328999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06157024-1.06138325) × R
    0.000186989999999998 × 6371000     		dr = 1191.31328999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33632529--0.33594179) × cos(1.06157024) × R
    0.000383499999999981 × 0.487501672256347 × 6371000     		do = 1191.10235453792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33632529--0.33594179) × cos(1.06138325) × R
    0.000383499999999981 × 0.487664928825287 × 6371000     		du = 1191.5012358028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06157024)-sin(1.06138325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.487501672256347-0.487664928825287)×R²
    abs(-0.33594179--0.33632529)×0.000163256568939674×R²
    0.000383499999999981×0.000163256568939674×6371000²
    0.000383499999999981×0.000163256568939674×40589641000000     		ar = 1419213.66512226m²