Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7315 / 10765
↖ ↑ ↗
← S 49.109838°
W 19.270020°		 ← 1 599.40 m → S 49.109838°
W 19.248047°		 →
↑
1 599.18 m
↓
↑
1 599.18 m
↓
S 49.124219°
W 19.270020°		 ← 1 598.93 m →
2 557 361 m²		 S 49.124219°
W 19.248047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446502685546875 y=0.657073974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446502685546875 × 214)
    floor (0.446502685546875 × 16384)
    floor (7315.5)     		tx = 7315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657073974609375 × 214)
    floor (0.657073974609375 × 16384)
    floor (10765.5)     		ty = 10765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7315 / 10765 ti = "14/7315/10765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7315/10765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7315 ÷ 214
    7315 ÷ 16384     		x = 0.44647216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10765 ÷ 214
    10765 ÷ 16384     		y = 0.65704345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44647216796875 × 2 - 1) × π
    -0.1070556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33632529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65704345703125 × 2 - 1) × π
    -0.3140869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.986733141779236
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33632529} λ = -0.33632529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.986733141779236))-π/2
    2×atan(0.372792564351293)-π/2
    2×0.356833981124185-π/2
    0.713667962248371-1.57079632675     		φ = -0.85712836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33632529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.270020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85712836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.109838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7315 KachelY 10765 -0.33632529 -0.85712836 -19.270020 -49.109838
    Oben rechts KachelX + 1 7316 KachelY 10765 -0.33594179 -0.85712836 -19.248047 -49.109838
    Unten links KachelX 7315 KachelY + 1 10766 -0.33632529 -0.85737937 -19.270020 -49.124219
    Unten rechts KachelX + 1 7316 KachelY + 1 10766 -0.33594179 -0.85737937 -19.248047 -49.124219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85712836--0.85737937) × R
    0.00025100999999994 × 6371000     		dl = 1599.18470999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85712836--0.85737937) × R
    0.00025100999999994 × 6371000     		dr = 1599.18470999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33632529--0.33594179) × cos(-0.85712836) × R
    0.000383499999999981 × 0.654611026089344 × 6371000     		do = 1599.39704590696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33632529--0.33594179) × cos(-0.85737937) × R
    0.000383499999999981 × 0.654421250474776 × 6371000     		du = 1598.93337122806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85712836)-sin(-0.85737937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654611026089344-0.654421250474776)×R²
    abs(-0.33594179--0.33632529)×0.000189775614568122×R²
    0.000383499999999981×0.000189775614568122×6371000²
    0.000383499999999981×0.000189775614568122×40589641000000     		ar = 2557360.56373277m²