Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73149 / 78451
↖ ↑ ↗
← S 33.401638°
E 20.909729°		 ← 254.93 m → S 33.401638°
E 20.912475°		 →
↑
254.97 m
↓
↑
254.97 m
↓
S 33.403931°
E 20.909729°		 ← 254.92 m →
64 997 m²		 S 33.403931°
E 20.912475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558086395263672 y=0.598537445068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558086395263672 × 217)
    floor (0.558086395263672 × 131072)
    floor (73149.5)     		tx = 73149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598537445068359 × 217)
    floor (0.598537445068359 × 131072)
    floor (78451.5)     		ty = 78451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73149 / 78451 ti = "17/73149/78451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73149/78451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73149 ÷ 217
    73149 ÷ 131072     		x = 0.558082580566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78451 ÷ 217
    78451 ÷ 131072     		y = 0.598533630371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558082580566406 × 2 - 1) × π
    0.116165161132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.36494362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598533630371094 × 2 - 1) × π
    -0.197067260742188 × 3.1415926535     		Φ = -0.619105058593025
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36494362} λ = 0.36494362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.619105058593025))-π/2
    2×atan(0.538426081836071)-π/2
    2×0.493913881495764-π/2
    0.987827762991528-1.57079632675     		φ = -0.58296856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36494362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.909729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58296856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.401638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73149 KachelY 78451 0.36494362 -0.58296856 20.909729 -33.401638
    Oben rechts KachelX + 1 73150 KachelY 78451 0.36499155 -0.58296856 20.912475 -33.401638
    Unten links KachelX 73149 KachelY + 1 78452 0.36494362 -0.58300858 20.909729 -33.403931
    Unten rechts KachelX + 1 73150 KachelY + 1 78452 0.36499155 -0.58300858 20.912475 -33.403931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58296856--0.58300858) × R
    4.00200000000295e-05 × 6371000     		dl = 254.967420000188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58296856--0.58300858) × R
    4.00200000000295e-05 × 6371000     		dr = 254.967420000188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36494362-0.36499155) × cos(-0.58296856) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.834832124769294 × 6371000     		do = 254.926032328626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36494362-0.36499155) × cos(-0.58300858) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.834810092906354 × 6371000     		du = 254.919304634233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58296856)-sin(-0.58300858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.834832124769294-0.834810092906354)×R²
    abs(0.36499155-0.36494362)×2.20318629409189e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.20318629409189e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.20318629409189e-05×40589641000000     		ar = 64996.9750910743m²