Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73148 / 78420
↖ ↑ ↗
← S 33.330528°
E 20.906982°		 ← 255.19 m → S 33.330528°
E 20.909729°		 →
↑
255.16 m
↓
↑
255.16 m
↓
S 33.332823°
E 20.906982°		 ← 255.18 m →
65 112 m²		 S 33.332823°
E 20.909729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558078765869141 y=0.598300933837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558078765869141 × 217)
    floor (0.558078765869141 × 131072)
    floor (73148.5)     		tx = 73148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598300933837891 × 217)
    floor (0.598300933837891 × 131072)
    floor (78420.5)     		ty = 78420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73148 / 78420 ti = "17/73148/78420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73148/78420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73148 ÷ 217
    73148 ÷ 131072     		x = 0.558074951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78420 ÷ 217
    78420 ÷ 131072     		y = 0.598297119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558074951171875 × 2 - 1) × π
    0.11614990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36489568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598297119140625 × 2 - 1) × π
    -0.19659423828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.617619014704804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36489568} λ = 0.36489568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.617619014704804))-π/2
    2×atan(0.539226801429117)-π/2
    2×0.494534433717563-π/2
    0.989068867435125-1.57079632675     		φ = -0.58172746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36489568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.906982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58172746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.330528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73148 KachelY 78420 0.36489568 -0.58172746 20.906982 -33.330528
    Oben rechts KachelX + 1 73149 KachelY 78420 0.36494362 -0.58172746 20.909729 -33.330528
    Unten links KachelX 73148 KachelY + 1 78421 0.36489568 -0.58176751 20.906982 -33.332823
    Unten rechts KachelX + 1 73149 KachelY + 1 78421 0.36494362 -0.58176751 20.909729 -33.332823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58172746--0.58176751) × R
    4.00500000000692e-05 × 6371000     		dl = 255.158550000441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58172746--0.58176751) × R
    4.00500000000692e-05 × 6371000     		dr = 255.158550000441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36489568-0.36494362) × cos(-0.58172746) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.835514712904839 × 6371000     		do = 255.187699469976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36489568-0.36494362) × cos(-0.58176751) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.835492706038391 × 6371000     		du = 255.180978006506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58172746)-sin(-0.58176751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835514712904839-0.835492706038391)×R²
    abs(0.36494362-0.36489568)×2.20068664480433e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20068664480433e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20068664480433e-05×40589641000000     		ar = 65112.465864036m²