Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73146 / 78426
↖ ↑ ↗
← S 33.344296°
E 20.901489°		 ← 255.09 m → S 33.344296°
E 20.904236°		 →
↑
255.16 m
↓
↑
255.16 m
↓
S 33.346591°
E 20.901489°		 ← 255.09 m →
65 089 m²		 S 33.346591°
E 20.904236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558063507080078 y=0.598346710205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558063507080078 × 217)
    floor (0.558063507080078 × 131072)
    floor (73146.5)     		tx = 73146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598346710205078 × 217)
    floor (0.598346710205078 × 131072)
    floor (78426.5)     		ty = 78426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73146 / 78426 ti = "17/73146/78426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73146/78426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73146 ÷ 217
    73146 ÷ 131072     		x = 0.558059692382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78426 ÷ 217
    78426 ÷ 131072     		y = 0.598342895507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558059692382812 × 2 - 1) × π
    0.116119384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36479981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598342895507812 × 2 - 1) × π
    -0.196685791015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.617906636102524
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36479981} λ = 0.36479981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.617906636102524))-π/2
    2×atan(0.53907173056472)-π/2
    2×0.494414287258047-π/2
    0.988828574516095-1.57079632675     		φ = -0.58196775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36479981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.901489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58196775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.344296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73146 KachelY 78426 0.36479981 -0.58196775 20.901489 -33.344296
    Oben rechts KachelX + 1 73147 KachelY 78426 0.36484774 -0.58196775 20.904236 -33.344296
    Unten links KachelX 73146 KachelY + 1 78427 0.36479981 -0.58200780 20.901489 -33.346591
    Unten rechts KachelX + 1 73147 KachelY + 1 78427 0.36484774 -0.58200780 20.904236 -33.346591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58196775--0.58200780) × R
    4.00499999999582e-05 × 6371000     		dl = 255.158549999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58196775--0.58200780) × R
    4.00499999999582e-05 × 6371000     		dr = 255.158549999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36479981-0.36484774) × cos(-0.58196775) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.835382657101559 × 6371000     		do = 255.094143999187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36479981-0.36484774) × cos(-0.58200780) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.835360642195181 × 6371000     		du = 255.087421482685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58196775)-sin(-0.58200780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835382657101559-0.835360642195181)×R²
    abs(0.36484774-0.36479981)×2.20149063782094e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.20149063782094e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.20149063782094e-05×40589641000000     		ar = 65088.5942512273m²