Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73145 / 78455
↖ ↑ ↗
← S 33.410809°
E 20.898743°		 ← 254.95 m → S 33.410809°
E 20.901489°		 →
↑
254.97 m
↓
↑
254.97 m
↓
S 33.413102°
E 20.898743°		 ← 254.95 m →
65 004 m²		 S 33.413102°
E 20.901489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558055877685547 y=0.598567962646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558055877685547 × 217)
    floor (0.558055877685547 × 131072)
    floor (73145.5)     		tx = 73145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598567962646484 × 217)
    floor (0.598567962646484 × 131072)
    floor (78455.5)     		ty = 78455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73145 / 78455 ti = "17/73145/78455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73145/78455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73145 ÷ 217
    73145 ÷ 131072     		x = 0.558052062988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78455 ÷ 217
    78455 ÷ 131072     		y = 0.598564147949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558052062988281 × 2 - 1) × π
    0.116104125976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.36475187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598564147949219 × 2 - 1) × π
    -0.197128295898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.619296806191505
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36475187} λ = 0.36475187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.619296806191505))-π/2
    2×atan(0.538322849825481)-π/2
    2×0.493833847192979-π/2
    0.987667694385959-1.57079632675     		φ = -0.58312863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36475187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.898743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58312863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.410809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73145 KachelY 78455 0.36475187 -0.58312863 20.898743 -33.410809
    Oben rechts KachelX + 1 73146 KachelY 78455 0.36479981 -0.58312863 20.901489 -33.410809
    Unten links KachelX 73145 KachelY + 1 78456 0.36475187 -0.58316865 20.898743 -33.413102
    Unten rechts KachelX + 1 73146 KachelY + 1 78456 0.36479981 -0.58316865 20.901489 -33.413102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58312863--0.58316865) × R
    4.00199999999185e-05 × 6371000     		dl = 254.96741999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58312863--0.58316865) × R
    4.00199999999185e-05 × 6371000     		dr = 254.96741999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36475187-0.36479981) × cos(-0.58312863) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.834743994801861 × 6371000     		do = 254.952302323043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36475187-0.36479981) × cos(-0.58316865) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.834721957591338 × 6371000     		du = 254.945571591711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58312863)-sin(-0.58316865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.834743994801861-0.834721957591338)×R²
    abs(0.36479981-0.36475187)×2.20372105237399e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20372105237399e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20372105237399e-05×40589641000000     		ar = 65003.6726961792m²