Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73144 / 78408
↖ ↑ ↗
← S 33.302986°
E 20.895996°		 ← 255.27 m → S 33.302986°
E 20.898743°		 →
↑
255.22 m
↓
↑
255.22 m
↓
S 33.305281°
E 20.895996°		 ← 255.26 m →
65 149 m²		 S 33.305281°
E 20.898743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558048248291016 y=0.598209381103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558048248291016 × 217)
    floor (0.558048248291016 × 131072)
    floor (73144.5)     		tx = 73144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598209381103516 × 217)
    floor (0.598209381103516 × 131072)
    floor (78408.5)     		ty = 78408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73144 / 78408 ti = "17/73144/78408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73144/78408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73144 ÷ 217
    73144 ÷ 131072     		x = 0.55804443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78408 ÷ 217
    78408 ÷ 131072     		y = 0.59820556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55804443359375 × 2 - 1) × π
    0.1160888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36470393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59820556640625 × 2 - 1) × π
    -0.1964111328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.617043771909363
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36470393} λ = 0.36470393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.617043771909363))-π/2
    2×atan(0.539537076995084)-π/2
    2×0.494774783600551-π/2
    0.989549567201103-1.57079632675     		φ = -0.58124676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36470393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.895996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58124676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.302986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73144 KachelY 78408 0.36470393 -0.58124676 20.895996 -33.302986
    Oben rechts KachelX + 1 73145 KachelY 78408 0.36475187 -0.58124676 20.898743 -33.302986
    Unten links KachelX 73144 KachelY + 1 78409 0.36470393 -0.58128682 20.895996 -33.305281
    Unten rechts KachelX + 1 73145 KachelY + 1 78409 0.36475187 -0.58128682 20.898743 -33.305281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58124676--0.58128682) × R
    4.00600000000084e-05 × 6371000     		dl = 255.222260000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58124676--0.58128682) × R
    4.00600000000084e-05 × 6371000     		dr = 255.222260000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36470393-0.36475187) × cos(-0.58124676) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.835778745665684 × 6371000     		do = 255.268341871046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36470393-0.36475187) × cos(-0.58128682) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.835756749395926 × 6371000     		du = 255.261623644078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58124676)-sin(-0.58128682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835778745665684-0.835756749395926)×R²
    abs(0.36475187-0.36470393)×2.19962697579623e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.19962697579623e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.19962697579623e-05×40589641000000     		ar = 65149.30580693m²