Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73143 / 78487
↖ ↑ ↗
← S 33.484145°
E 20.893250°		 ← 254.68 m → S 33.484145°
E 20.895996°		 →
↑
254.71 m
↓
↑
254.71 m
↓
S 33.486435°
E 20.893250°		 ← 254.68 m →
64 870 m²		 S 33.486435°
E 20.895996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558040618896484 y=0.598812103271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558040618896484 × 217)
    floor (0.558040618896484 × 131072)
    floor (73143.5)     		tx = 73143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598812103271484 × 217)
    floor (0.598812103271484 × 131072)
    floor (78487.5)     		ty = 78487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73143 / 78487 ti = "17/73143/78487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73143/78487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73143 ÷ 217
    73143 ÷ 131072     		x = 0.558036804199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78487 ÷ 217
    78487 ÷ 131072     		y = 0.598808288574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558036804199219 × 2 - 1) × π
    0.116073608398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.36465600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598808288574219 × 2 - 1) × π
    -0.197616577148438 × 3.1415926535     		Φ = -0.620830786979347
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36465600} λ = 0.36465600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.620830786979347))-π/2
    2×atan(0.537497705955418)-π/2
    2×0.493193877062796-π/2
    0.986387754125591-1.57079632675     		φ = -0.58440857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36465600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.893250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58440857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.484145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73143 KachelY 78487 0.36465600 -0.58440857 20.893250 -33.484145
    Oben rechts KachelX + 1 73144 KachelY 78487 0.36470393 -0.58440857 20.895996 -33.484145
    Unten links KachelX 73143 KachelY + 1 78488 0.36465600 -0.58444855 20.893250 -33.486435
    Unten rechts KachelX + 1 73144 KachelY + 1 78488 0.36470393 -0.58444855 20.895996 -33.486435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58440857--0.58444855) × R
    3.99799999999395e-05 × 6371000     		dl = 254.712579999615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58440857--0.58444855) × R
    3.99799999999395e-05 × 6371000     		dr = 254.712579999615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36465600-0.36470393) × cos(-0.58440857) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.83403852733685 × 6371000     		do = 254.683697805947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36465600-0.36470393) × cos(-0.58444855) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.834016469456278 × 6371000     		du = 254.676962166758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58440857)-sin(-0.58444855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.83403852733685-0.834016469456278)×R²
    abs(0.36470393-0.36465600)×2.20578805715244e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.20578805715244e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.20578805715244e-05×40589641000000     		ar = 64870.2839346281m²