Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73143 / 78457
↖ ↑ ↗
← S 33.415395°
E 20.893250°		 ← 254.89 m → S 33.415395°
E 20.895996°		 →
↑
254.90 m
↓
↑
254.90 m
↓
S 33.417687°
E 20.893250°		 ← 254.88 m →
64 970 m²		 S 33.417687°
E 20.895996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558040618896484 y=0.598583221435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558040618896484 × 217)
    floor (0.558040618896484 × 131072)
    floor (73143.5)     		tx = 73143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598583221435547 × 217)
    floor (0.598583221435547 × 131072)
    floor (78457.5)     		ty = 78457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73143 / 78457 ti = "17/73143/78457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73143/78457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73143 ÷ 217
    73143 ÷ 131072     		x = 0.558036804199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78457 ÷ 217
    78457 ÷ 131072     		y = 0.598579406738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558036804199219 × 2 - 1) × π
    0.116073608398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.36465600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598579406738281 × 2 - 1) × π
    -0.197158813476562 × 3.1415926535     		Φ = -0.619392679990746
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36465600} λ = 0.36465600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.619392679990746))-π/2
    2×atan(0.538271241242645)-π/2
    2×0.493793833210212-π/2
    0.987587666420425-1.57079632675     		φ = -0.58320866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36465600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.893250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58320866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.415395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73143 KachelY 78457 0.36465600 -0.58320866 20.893250 -33.415395
    Oben rechts KachelX + 1 73144 KachelY 78457 0.36470393 -0.58320866 20.895996 -33.415395
    Unten links KachelX 73143 KachelY + 1 78458 0.36465600 -0.58324867 20.893250 -33.417687
    Unten rechts KachelX + 1 73144 KachelY + 1 78458 0.36470393 -0.58324867 20.895996 -33.417687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58320866--0.58324867) × R
    4.00099999999792e-05 × 6371000     		dl = 254.903709999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58320866--0.58324867) × R
    4.00099999999792e-05 × 6371000     		dr = 254.903709999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36465600-0.36470393) × cos(-0.58320866) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.834699924550973 × 6371000     		do = 254.885663401888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36465600-0.36470393) × cos(-0.58324867) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.834677890174421 × 6371000     		du = 254.878934939934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58320866)-sin(-0.58324867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.834699924550973-0.834677890174421)×R²
    abs(0.36470393-0.36465600)×2.20343765521269e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.20343765521269e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.20343765521269e-05×40589641000000     		ar = 64970.4436805143m²