Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73143 / 78452
↖ ↑ ↗
← S 33.403931°
E 20.893250°		 ← 254.92 m → S 33.403931°
E 20.895996°		 →
↑
254.97 m
↓
↑
254.97 m
↓
S 33.406224°
E 20.893250°		 ← 254.91 m →
64 995 m²		 S 33.406224°
E 20.895996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558040618896484 y=0.598545074462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558040618896484 × 217)
    floor (0.558040618896484 × 131072)
    floor (73143.5)     		tx = 73143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598545074462891 × 217)
    floor (0.598545074462891 × 131072)
    floor (78452.5)     		ty = 78452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73143 / 78452 ti = "17/73143/78452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73143/78452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73143 ÷ 217
    73143 ÷ 131072     		x = 0.558036804199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78452 ÷ 217
    78452 ÷ 131072     		y = 0.598541259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558036804199219 × 2 - 1) × π
    0.116073608398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.36465600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598541259765625 × 2 - 1) × π
    -0.19708251953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.619152995492645
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36465600} λ = 0.36465600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.619152995492645))-π/2
    2×atan(0.53840027197766)-π/2
    2×0.493893872127957-π/2
    0.987787744255914-1.57079632675     		φ = -0.58300858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36465600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.893250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58300858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.403931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73143 KachelY 78452 0.36465600 -0.58300858 20.893250 -33.403931
    Oben rechts KachelX + 1 73144 KachelY 78452 0.36470393 -0.58300858 20.895996 -33.403931
    Unten links KachelX 73143 KachelY + 1 78453 0.36465600 -0.58304860 20.893250 -33.406224
    Unten rechts KachelX + 1 73144 KachelY + 1 78453 0.36470393 -0.58304860 20.895996 -33.406224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58300858--0.58304860) × R
    4.00200000000295e-05 × 6371000     		dl = 254.967420000188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58300858--0.58304860) × R
    4.00200000000295e-05 × 6371000     		dr = 254.967420000188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36465600-0.36470393) × cos(-0.58300858) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.834810092906354 × 6371000     		do = 254.919304634529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36465600-0.36470393) × cos(-0.58304860) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.83478805970638 × 6371000     		du = 254.912576531858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58300858)-sin(-0.58304860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.834810092906354-0.83478805970638)×R²
    abs(0.36470393-0.36465600)×2.20331999730705e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.20331999730705e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.20331999730705e-05×40589641000000     		ar = 64995.2596960169m²