Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73142 / 78500
↖ ↑ ↗
← S 33.513919°
E 20.890503°		 ← 254.65 m → S 33.513919°
E 20.893250°		 →
↑
254.65 m
↓
↑
254.65 m
↓
S 33.516210°
E 20.890503°		 ← 254.64 m →
64 845 m²		 S 33.516210°
E 20.893250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558032989501953 y=0.598911285400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558032989501953 × 217)
    floor (0.558032989501953 × 131072)
    floor (73142.5)     		tx = 73142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598911285400391 × 217)
    floor (0.598911285400391 × 131072)
    floor (78500.5)     		ty = 78500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73142 / 78500 ti = "17/73142/78500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73142/78500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73142 ÷ 217
    73142 ÷ 131072     		x = 0.558029174804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78500 ÷ 217
    78500 ÷ 131072     		y = 0.598907470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558029174804688 × 2 - 1) × π
    0.116058349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36460806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598907470703125 × 2 - 1) × π
    -0.19781494140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.621453966674408
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36460806} λ = 0.36460806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.621453966674408))-π/2
    2×atan(0.537162852646653)-π/2
    2×0.492934043806854-π/2
    0.985868087613707-1.57079632675     		φ = -0.58492824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36460806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.890503°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58492824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.513919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73142 KachelY 78500 0.36460806 -0.58492824 20.890503 -33.513919
    Oben rechts KachelX + 1 73143 KachelY 78500 0.36465600 -0.58492824 20.893250 -33.513919
    Unten links KachelX 73142 KachelY + 1 78501 0.36460806 -0.58496821 20.890503 -33.516210
    Unten rechts KachelX + 1 73143 KachelY + 1 78501 0.36465600 -0.58496821 20.893250 -33.516210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58492824--0.58496821) × R
    3.99700000000003e-05 × 6371000     		dl = 254.648870000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58492824--0.58496821) × R
    3.99700000000003e-05 × 6371000     		dr = 254.648870000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36460806-0.36465600) × cos(-0.58492824) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.83375170956808 × 6371000     		do = 254.649232870929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36460806-0.36465600) × cos(-0.58496821) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.833729639884123 × 6371000     		du = 254.642492221375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58492824)-sin(-0.58496821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.83375170956808-0.833729639884123)×R²
    abs(0.36465600-0.36460806)×2.20696839579038e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20696839579038e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20696839579038e-05×40589641000000     		ar = 64845.2811561756m²