Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73138 / 78419
↖ ↑ ↗
← S 33.328234°
E 20.879517°		 ← 255.19 m → S 33.328234°
E 20.882263°		 →
↑
255.16 m
↓
↑
255.16 m
↓
S 33.330528°
E 20.879517°		 ← 255.19 m →
65 114 m²		 S 33.330528°
E 20.882263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558002471923828 y=0.598293304443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558002471923828 × 217)
    floor (0.558002471923828 × 131072)
    floor (73138.5)     		tx = 73138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598293304443359 × 217)
    floor (0.598293304443359 × 131072)
    floor (78419.5)     		ty = 78419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73138 / 78419 ti = "17/73138/78419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73138/78419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73138 ÷ 217
    73138 ÷ 131072     		x = 0.557998657226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78419 ÷ 217
    78419 ÷ 131072     		y = 0.598289489746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557998657226562 × 2 - 1) × π
    0.115997314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.36441631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598289489746094 × 2 - 1) × π
    -0.196578979492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.617571077805183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36441631} λ = 0.36441631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.617571077805183))-π/2
    2×atan(0.539252650909737)-π/2
    2×0.49455445997377-π/2
    0.98910891994754-1.57079632675     		φ = -0.58168741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36441631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.879517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58168741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.328234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73138 KachelY 78419 0.36441631 -0.58168741 20.879517 -33.328234
    Oben rechts KachelX + 1 73139 KachelY 78419 0.36446425 -0.58168741 20.882263 -33.328234
    Unten links KachelX 73138 KachelY + 1 78420 0.36441631 -0.58172746 20.879517 -33.330528
    Unten rechts KachelX + 1 73139 KachelY + 1 78420 0.36446425 -0.58172746 20.882263 -33.330528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58168741--0.58172746) × R
    4.00499999999582e-05 × 6371000     		dl = 255.158549999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58168741--0.58172746) × R
    4.00499999999582e-05 × 6371000     		dr = 255.158549999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36441631-0.36446425) × cos(-0.58168741) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.835536718431119 × 6371000     		do = 255.194420523829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36441631-0.36446425) × cos(-0.58172746) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.835514712904839 × 6371000     		du = 255.187699469681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58168741)-sin(-0.58172746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835536718431119-0.835514712904839)×R²
    abs(0.36446425-0.36441631)×2.20055262802887e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20055262802887e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20055262802887e-05×40589641000000     		ar = 65114.1808502821m²