Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73137 / 78481
↖ ↑ ↗
← S 33.470399°
E 20.876770°		 ← 254.78 m → S 33.470399°
E 20.879517°		 →
↑
254.71 m
↓
↑
254.71 m
↓
S 33.472690°
E 20.876770°		 ← 254.77 m →
64 894 m²		 S 33.472690°
E 20.879517°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557994842529297 y=0.598766326904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557994842529297 × 217)
    floor (0.557994842529297 × 131072)
    floor (73137.5)     		tx = 73137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598766326904297 × 217)
    floor (0.598766326904297 × 131072)
    floor (78481.5)     		ty = 78481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73137 / 78481 ti = "17/73137/78481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73137/78481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73137 ÷ 217
    73137 ÷ 131072     		x = 0.557991027832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78481 ÷ 217
    78481 ÷ 131072     		y = 0.598762512207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557991027832031 × 2 - 1) × π
    0.115982055664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.36436837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598762512207031 × 2 - 1) × π
    -0.197525024414062 × 3.1415926535     		Φ = -0.620543165581627
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36436837} λ = 0.36436837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.620543165581627))-π/2
    2×atan(0.537652324031544)-π/2
    2×0.49331383024191-π/2
    0.98662766048382-1.57079632675     		φ = -0.58416867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36436837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.876770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58416867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.470399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73137 KachelY 78481 0.36436837 -0.58416867 20.876770 -33.470399
    Oben rechts KachelX + 1 73138 KachelY 78481 0.36441631 -0.58416867 20.879517 -33.470399
    Unten links KachelX 73137 KachelY + 1 78482 0.36436837 -0.58420865 20.876770 -33.472690
    Unten rechts KachelX + 1 73138 KachelY + 1 78482 0.36441631 -0.58420865 20.879517 -33.472690
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58416867--0.58420865) × R
    3.99800000000505e-05 × 6371000     		dl = 254.712580000322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58416867--0.58420865) × R
    3.99800000000505e-05 × 6371000     		dr = 254.712580000322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36436837-0.36441631) × cos(-0.58416867) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.83417085765349 × 6371000     		do = 254.77725148538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36436837-0.36441631) × cos(-0.58420865) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.834148807772879 × 6371000     		du = 254.770516884277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58416867)-sin(-0.58420865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.83417085765349-0.834148807772879)×R²
    abs(0.36441631-0.36436837)×2.20498806107194e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20498806107194e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20498806107194e-05×40589641000000     		ar = 64894.113365874m²