Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73137 / 76112
↖ ↑ ↗
← S 27.877928°
E 20.876770°		 ← 269.98 m → S 27.877928°
E 20.879517°		 →
↑
269.94 m
↓
↑
269.94 m
↓
S 27.880356°
E 20.876770°		 ← 269.97 m →
72 877 m²		 S 27.880356°
E 20.879517°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557994842529297 y=0.580692291259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557994842529297 × 217)
    floor (0.557994842529297 × 131072)
    floor (73137.5)     		tx = 73137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580692291259766 × 217)
    floor (0.580692291259766 × 131072)
    floor (76112.5)     		ty = 76112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73137 / 76112 ti = "17/73137/76112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73137/76112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73137 ÷ 217
    73137 ÷ 131072     		x = 0.557991027832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76112 ÷ 217
    76112 ÷ 131072     		y = 0.5806884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557991027832031 × 2 - 1) × π
    0.115982055664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.36436837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5806884765625 × 2 - 1) × π
    -0.161376953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.506980650381714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36436837} λ = 0.36436837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.506980650381714))-π/2
    2×atan(0.602311424866472)-π/2
    2×0.542117344374991-π/2
    1.08423468874998-1.57079632675     		φ = -0.48656164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36436837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.876770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48656164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.877928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73137 KachelY 76112 0.36436837 -0.48656164 20.876770 -27.877928
    Oben rechts KachelX + 1 73138 KachelY 76112 0.36441631 -0.48656164 20.879517 -27.877928
    Unten links KachelX 73137 KachelY + 1 76113 0.36436837 -0.48660401 20.876770 -27.880356
    Unten rechts KachelX + 1 73138 KachelY + 1 76113 0.36441631 -0.48660401 20.879517 -27.880356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48656164--0.48660401) × R
    4.23699999999583e-05 × 6371000     		dl = 269.939269999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48656164--0.48660401) × R
    4.23699999999583e-05 × 6371000     		dr = 269.939269999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36436837-0.36441631) × cos(-0.48656164) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.883945821045196 × 6371000     		do = 269.979806512772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36436837-0.36441631) × cos(-0.48660401) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.883926008491675 × 6371000     		du = 269.973755248952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48656164)-sin(-0.48660401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883945821045196-0.883926008491675)×R²
    abs(0.36441631-0.36436837)×1.98125535213478e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.98125535213478e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.98125535213478e-05×40589641000000     		ar = 72877.3351586585m²