Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73136 / 78495
↖ ↑ ↗
← S 33.502469°
E 20.874024°		 ← 254.63 m → S 33.502469°
E 20.876770°		 →
↑
254.65 m
↓
↑
254.65 m
↓
S 33.504759°
E 20.874024°		 ← 254.62 m →
64 840 m²		 S 33.504759°
E 20.876770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557987213134766 y=0.598873138427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557987213134766 × 217)
    floor (0.557987213134766 × 131072)
    floor (73136.5)     		tx = 73136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598873138427734 × 217)
    floor (0.598873138427734 × 131072)
    floor (78495.5)     		ty = 78495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73136 / 78495 ti = "17/73136/78495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73136/78495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73136 ÷ 217
    73136 ÷ 131072     		x = 0.5579833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78495 ÷ 217
    78495 ÷ 131072     		y = 0.598869323730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5579833984375 × 2 - 1) × π
    0.115966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36432044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598869323730469 × 2 - 1) × π
    -0.197738647460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.621214282176308
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36432044} λ = 0.36432044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.621214282176308))-π/2
    2×atan(0.537291617686263)-π/2
    2×0.493033969098142-π/2
    0.986067938196284-1.57079632675     		φ = -0.58472839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36432044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.874024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58472839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.502469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73136 KachelY 78495 0.36432044 -0.58472839 20.874024 -33.502469
    Oben rechts KachelX + 1 73137 KachelY 78495 0.36436837 -0.58472839 20.876770 -33.502469
    Unten links KachelX 73136 KachelY + 1 78496 0.36432044 -0.58476836 20.874024 -33.504759
    Unten rechts KachelX + 1 73137 KachelY + 1 78496 0.36436837 -0.58476836 20.876770 -33.504759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58472839--0.58476836) × R
    3.99700000000003e-05 × 6371000     		dl = 254.648870000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58472839--0.58476836) × R
    3.99700000000003e-05 × 6371000     		dr = 254.648870000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36432044-0.36436837) × cos(-0.58472839) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.833862038007128 × 6371000     		do = 254.629804665655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36432044-0.36436837) × cos(-0.58476836) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.833839974983535 × 6371000     		du = 254.623067455982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58472839)-sin(-0.58476836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.833862038007128-0.833839974983535)×R²
    abs(0.36436837-0.36432044)×2.20630235929775e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.20630235929775e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.20630235929775e-05×40589641000000     		ar = 64840.3342236839m²