Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73134 / 78402
↖ ↑ ↗
← S 33.289212°
E 20.868530°		 ← 255.31 m → S 33.289212°
E 20.871277°		 →
↑
255.29 m
↓
↑
255.29 m
↓
S 33.291508°
E 20.868530°		 ← 255.30 m →
65 176 m²		 S 33.291508°
E 20.871277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557971954345703 y=0.598163604736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557971954345703 × 217)
    floor (0.557971954345703 × 131072)
    floor (73134.5)     		tx = 73134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598163604736328 × 217)
    floor (0.598163604736328 × 131072)
    floor (78402.5)     		ty = 78402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73134 / 78402 ti = "17/73134/78402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73134/78402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73134 ÷ 217
    73134 ÷ 131072     		x = 0.557968139648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78402 ÷ 217
    78402 ÷ 131072     		y = 0.598159790039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557968139648438 × 2 - 1) × π
    0.115936279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36422456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598159790039062 × 2 - 1) × π
    -0.196319580078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.616756150511642
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36422456} λ = 0.36422456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.616756150511642))-π/2
    2×atan(0.539692281722321)-π/2
    2×0.494894987016139-π/2
    0.989789974032278-1.57079632675     		φ = -0.58100635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36422456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.868530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58100635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.289212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73134 KachelY 78402 0.36422456 -0.58100635 20.868530 -33.289212
    Oben rechts KachelX + 1 73135 KachelY 78402 0.36427250 -0.58100635 20.871277 -33.289212
    Unten links KachelX 73134 KachelY + 1 78403 0.36422456 -0.58104642 20.868530 -33.291508
    Unten rechts KachelX + 1 73135 KachelY + 1 78403 0.36427250 -0.58104642 20.871277 -33.291508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58100635--0.58104642) × R
    4.00699999999476e-05 × 6371000     		dl = 255.285969999666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58100635--0.58104642) × R
    4.00699999999476e-05 × 6371000     		dr = 255.285969999666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36422456-0.36427250) × cos(-0.58100635) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.835910722559794 × 6371000     		do = 255.308651011888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36422456-0.36427250) × cos(-0.58104642) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.835888728850815 × 6371000     		du = 255.301933567048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58100635)-sin(-0.58104642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835910722559794-0.835888728850815)×R²
    abs(0.36427250-0.36422456)×2.1993708978929e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.1993708978929e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.1993708978929e-05×40589641000000     		ar = 65175.859196786m²