Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73133 / 78485
↖ ↑ ↗
← S 33.479563°
E 20.865784°		 ← 254.70 m → S 33.479563°
E 20.868530°		 →
↑
254.71 m
↓
↑
254.71 m
↓
S 33.481854°
E 20.865784°		 ← 254.69 m →
64 874 m²		 S 33.481854°
E 20.868530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557964324951172 y=0.598796844482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557964324951172 × 217)
    floor (0.557964324951172 × 131072)
    floor (73133.5)     		tx = 73133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598796844482422 × 217)
    floor (0.598796844482422 × 131072)
    floor (78485.5)     		ty = 78485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73133 / 78485 ti = "17/73133/78485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73133/78485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73133 ÷ 217
    73133 ÷ 131072     		x = 0.557960510253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78485 ÷ 217
    78485 ÷ 131072     		y = 0.598793029785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557960510253906 × 2 - 1) × π
    0.115921020507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.36417663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598793029785156 × 2 - 1) × π
    -0.197586059570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.620734913180107
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36417663} λ = 0.36417663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.620734913180107))-π/2
    2×atan(0.537549240372932)-π/2
    2×0.493233859341252-π/2
    0.986467718682504-1.57079632675     		φ = -0.58432861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36417663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.865784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58432861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.479563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73133 KachelY 78485 0.36417663 -0.58432861 20.865784 -33.479563
    Oben rechts KachelX + 1 73134 KachelY 78485 0.36422456 -0.58432861 20.868530 -33.479563
    Unten links KachelX 73133 KachelY + 1 78486 0.36417663 -0.58436859 20.865784 -33.481854
    Unten rechts KachelX + 1 73134 KachelY + 1 78486 0.36422456 -0.58436859 20.868530 -33.481854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58432861--0.58436859) × R
    3.99799999999395e-05 × 6371000     		dl = 254.712579999615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58432861--0.58436859) × R
    3.99799999999395e-05 × 6371000     		dr = 254.712579999615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36417663-0.36422456) × cos(-0.58432861) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.834082639098575 × 6371000     		do = 254.697167862759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36417663-0.36422456) × cos(-0.58436859) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.834060583884294 × 6371000     		du = 254.690433037754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58432861)-sin(-0.58436859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.834082639098575-0.834060583884294)×R²
    abs(0.36422456-0.36417663)×2.20552142812247e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.20552142812247e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.20552142812247e-05×40589641000000     		ar = 64873.7150313076m²