Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73132 / 78412
↖ ↑ ↗
← S 33.312168°
E 20.863037°		 ← 255.24 m → S 33.312168°
E 20.865784°		 →
↑
255.22 m
↓
↑
255.22 m
↓
S 33.314463°
E 20.863037°		 ← 255.23 m →
65 142 m²		 S 33.314463°
E 20.865784°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557956695556641 y=0.598239898681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557956695556641 × 217)
    floor (0.557956695556641 × 131072)
    floor (73132.5)     		tx = 73132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598239898681641 × 217)
    floor (0.598239898681641 × 131072)
    floor (78412.5)     		ty = 78412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73132 / 78412 ti = "17/73132/78412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73132/78412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73132 ÷ 217
    73132 ÷ 131072     		x = 0.557952880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78412 ÷ 217
    78412 ÷ 131072     		y = 0.598236083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557952880859375 × 2 - 1) × π
    0.11590576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36412869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598236083984375 × 2 - 1) × π
    -0.19647216796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.617235519507843
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36412869} λ = 0.36412869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.617235519507843))-π/2
    2×atan(0.539433631974263)-π/2
    2×0.494694658535146-π/2
    0.989389317070292-1.57079632675     		φ = -0.58140701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36412869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.863037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58140701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.312168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73132 KachelY 78412 0.36412869 -0.58140701 20.863037 -33.312168
    Oben rechts KachelX + 1 73133 KachelY 78412 0.36417663 -0.58140701 20.865784 -33.312168
    Unten links KachelX 73132 KachelY + 1 78413 0.36412869 -0.58144707 20.863037 -33.314463
    Unten rechts KachelX + 1 73133 KachelY + 1 78413 0.36417663 -0.58144707 20.865784 -33.314463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58140701--0.58144707) × R
    4.00600000000084e-05 × 6371000     		dl = 255.222260000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58140701--0.58144707) × R
    4.00600000000084e-05 × 6371000     		dr = 255.222260000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36412869-0.36417663) × cos(-0.58140701) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.835690747047438 × 6371000     		do = 255.241464828245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36412869-0.36417663) × cos(-0.58144707) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.835668745412655 × 6371000     		du = 255.23474496266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58140701)-sin(-0.58144707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835690747047438-0.835668745412655)×R²
    abs(0.36417663-0.36412869)×2.20016347827201e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20016347827201e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20016347827201e-05×40589641000000     		ar = 65142.4459781621m²