Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73131 / 78443
↖ ↑ ↗
← S 33.383293°
E 20.860290°		 ← 255.03 m → S 33.383293°
E 20.863037°		 →
↑
254.97 m
↓
↑
254.97 m
↓
S 33.385586°
E 20.860290°		 ← 255.03 m →
65 024 m²		 S 33.385586°
E 20.863037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557949066162109 y=0.598476409912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557949066162109 × 217)
    floor (0.557949066162109 × 131072)
    floor (73131.5)     		tx = 73131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598476409912109 × 217)
    floor (0.598476409912109 × 131072)
    floor (78443.5)     		ty = 78443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73131 / 78443 ti = "17/73131/78443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73131/78443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73131 ÷ 217
    73131 ÷ 131072     		x = 0.557945251464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78443 ÷ 217
    78443 ÷ 131072     		y = 0.598472595214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557945251464844 × 2 - 1) × π
    0.115890502929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.36408075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598472595214844 × 2 - 1) × π
    -0.196945190429688 × 3.1415926535     		Φ = -0.618721563396065
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36408075} λ = 0.36408075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.618721563396065))-π/2
    2×atan(0.538632605250211)-π/2
    2×0.494073975446279-π/2
    0.988147950892557-1.57079632675     		φ = -0.58264838
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36408075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.860290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58264838 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.383293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73131 KachelY 78443 0.36408075 -0.58264838 20.860290 -33.383293
    Oben rechts KachelX + 1 73132 KachelY 78443 0.36412869 -0.58264838 20.863037 -33.383293
    Unten links KachelX 73131 KachelY + 1 78444 0.36408075 -0.58268840 20.860290 -33.385586
    Unten rechts KachelX + 1 73132 KachelY + 1 78444 0.36412869 -0.58268840 20.863037 -33.385586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58264838--0.58268840) × R
    4.00200000000295e-05 × 6371000     		dl = 254.967420000188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58264838--0.58268840) × R
    4.00200000000295e-05 × 6371000     		dr = 254.967420000188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36408075-0.36412869) × cos(-0.58264838) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.835008342540175 × 6371000     		do = 255.033040926339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36408075-0.36412869) × cos(-0.58268840) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.83498632137543 × 6371000     		du = 255.026315095801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58264838)-sin(-0.58268840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835008342540175-0.83498632137543)×R²
    abs(0.36412869-0.36408075)×2.20211647450341e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20211647450341e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20211647450341e-05×40589641000000     		ar = 65024.2590346057m²