Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73131 / 78413
↖ ↑ ↗
← S 33.314463°
E 20.860290°		 ← 255.23 m → S 33.314463°
E 20.863037°		 →
↑
255.22 m
↓
↑
255.22 m
↓
S 33.316758°
E 20.860290°		 ← 255.23 m →
65 141 m²		 S 33.316758°
E 20.863037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557949066162109 y=0.598247528076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557949066162109 × 217)
    floor (0.557949066162109 × 131072)
    floor (73131.5)     		tx = 73131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598247528076172 × 217)
    floor (0.598247528076172 × 131072)
    floor (78413.5)     		ty = 78413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73131 / 78413 ti = "17/73131/78413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73131/78413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73131 ÷ 217
    73131 ÷ 131072     		x = 0.557945251464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78413 ÷ 217
    78413 ÷ 131072     		y = 0.598243713378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557945251464844 × 2 - 1) × π
    0.115890502929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.36408075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598243713378906 × 2 - 1) × π
    -0.196487426757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.617283456407463
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36408075} λ = 0.36408075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.617283456407463))-π/2
    2×atan(0.53940777381818)-π/2
    2×0.494674628587085-π/2
    0.98934925717417-1.57079632675     		φ = -0.58144707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36408075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.860290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58144707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.314463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73131 KachelY 78413 0.36408075 -0.58144707 20.860290 -33.314463
    Oben rechts KachelX + 1 73132 KachelY 78413 0.36412869 -0.58144707 20.863037 -33.314463
    Unten links KachelX 73131 KachelY + 1 78414 0.36408075 -0.58148713 20.860290 -33.316758
    Unten rechts KachelX + 1 73132 KachelY + 1 78414 0.36412869 -0.58148713 20.863037 -33.316758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58144707--0.58148713) × R
    4.00600000000084e-05 × 6371000     		dl = 255.222260000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58144707--0.58148713) × R
    4.00600000000084e-05 × 6371000     		dr = 255.222260000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36408075-0.36412869) × cos(-0.58144707) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.835668745412655 × 6371000     		do = 255.234744962364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36408075-0.36412869) × cos(-0.58148713) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.835646742436788 × 6371000     		du = 255.228024687178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58144707)-sin(-0.58148713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835668745412655-0.835646742436788)×R²
    abs(0.36412869-0.36408075)×2.20029758668527e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20029758668527e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20029758668527e-05×40589641000000     		ar = 65140.7308666811m²