Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73130 / 78438
↖ ↑ ↗
← S 33.371825°
E 20.857544°		 ← 255.01 m → S 33.371825°
E 20.860290°		 →
↑
255.09 m
↓
↑
255.09 m
↓
S 33.374119°
E 20.857544°		 ← 255.01 m →
65 052 m²		 S 33.374119°
E 20.860290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557941436767578 y=0.598438262939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557941436767578 × 217)
    floor (0.557941436767578 × 131072)
    floor (73130.5)     		tx = 73130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598438262939453 × 217)
    floor (0.598438262939453 × 131072)
    floor (78438.5)     		ty = 78438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73130 / 78438 ti = "17/73130/78438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73130/78438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73130 ÷ 217
    73130 ÷ 131072     		x = 0.557937622070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78438 ÷ 217
    78438 ÷ 131072     		y = 0.598434448242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557937622070312 × 2 - 1) × π
    0.115875244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36403282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598434448242188 × 2 - 1) × π
    -0.196868896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.618481878897964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36403282} λ = 0.36403282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.618481878897964))-π/2
    2×atan(0.538761722608957)-π/2
    2×0.494174051322652-π/2
    0.988348102645304-1.57079632675     		φ = -0.58244822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36403282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.857544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58244822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.371825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73130 KachelY 78438 0.36403282 -0.58244822 20.857544 -33.371825
    Oben rechts KachelX + 1 73131 KachelY 78438 0.36408075 -0.58244822 20.860290 -33.371825
    Unten links KachelX 73130 KachelY + 1 78439 0.36403282 -0.58248826 20.857544 -33.374119
    Unten rechts KachelX + 1 73131 KachelY + 1 78439 0.36408075 -0.58248826 20.860290 -33.374119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58244822--0.58248826) × R
    4.00400000000189e-05 × 6371000     		dl = 255.094840000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58244822--0.58248826) × R
    4.00400000000189e-05 × 6371000     		dr = 255.094840000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36403282-0.36408075) × cos(-0.58244822) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.835118461307159 × 6371000     		do = 255.013468635387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36403282-0.36408075) × cos(-0.58248826) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.835096435829449 × 6371000     		du = 255.006742890801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58244822)-sin(-0.58248826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835118461307159-0.835096435829449)×R²
    abs(0.36408075-0.36403282)×2.20254777100193e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.20254777100193e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.20254777100193e-05×40589641000000     		ar = 65051.7621367762m²