Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7313 / 4683
↖ ↑ ↗
← N 60.812781°
W 19.313965°		 ← 1 191.50 m → N 60.812781°
W 19.291992°		 →
↑
1 191.70 m
↓
↑
1 191.70 m
↓
N 60.802063°
W 19.313965°		 ← 1 191.90 m →
1 420 144 m²		 N 60.802063°
W 19.291992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446380615234375 y=0.285858154296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446380615234375 × 214)
    floor (0.446380615234375 × 16384)
    floor (7313.5)     		tx = 7313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.285858154296875 × 214)
    floor (0.285858154296875 × 16384)
    floor (4683.5)     		ty = 4683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7313 / 4683 ti = "14/7313/4683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7313/4683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7313 ÷ 214
    7313 ÷ 16384     		x = 0.44635009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4683 ÷ 214
    4683 ÷ 16384     		y = 0.28582763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44635009765625 × 2 - 1) × π
    -0.1072998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33709228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28582763671875 × 2 - 1) × π
    0.4283447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.34568464613422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33709228} λ = -0.33709228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34568464613422))-π/2
    2×atan(3.84081523993911)-π/2
    2×1.31608978979732-π/2
    2.63217957959464-1.57079632675     		φ = 1.06138325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33709228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.313965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06138325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.812781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7313 KachelY 4683 -0.33709228 1.06138325 -19.313965 60.812781
    Oben rechts KachelX + 1 7314 KachelY 4683 -0.33670878 1.06138325 -19.291992 60.812781
    Unten links KachelX 7313 KachelY + 1 4684 -0.33709228 1.06119620 -19.313965 60.802063
    Unten rechts KachelX + 1 7314 KachelY + 1 4684 -0.33670878 1.06119620 -19.291992 60.802063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06138325-1.06119620) × R
    0.000187050000000077 × 6371000     		dl = 1191.69555000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06138325-1.06119620) × R
    0.000187050000000077 × 6371000     		dr = 1191.69555000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33709228--0.33670878) × cos(1.06138325) × R
    0.000383500000000037 × 0.487664928825287 × 6371000     		do = 1191.50123580297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33709228--0.33670878) × cos(1.06119620) × R
    0.000383500000000037 × 0.487828220719276 × 6371000     		du = 1191.90020337677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06138325)-sin(1.06119620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.487664928825287-0.487828220719276)×R²
    abs(-0.33670878--0.33709228)×0.000163291893988449×R²
    0.000383500000000037×0.000163291893988449×6371000²
    0.000383500000000037×0.000163291893988449×40589641000000     		ar = 1420144.44860912m²