Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73129 / 78441
↖ ↑ ↗
← S 33.378706°
E 20.854797°		 ← 255.05 m → S 33.378706°
E 20.857544°		 →
↑
255.03 m
↓
↑
255.03 m
↓
S 33.381000°
E 20.854797°		 ← 255.04 m →
65 044 m²		 S 33.381000°
E 20.857544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557933807373047 y=0.598461151123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557933807373047 × 217)
    floor (0.557933807373047 × 131072)
    floor (73129.5)     		tx = 73129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598461151123047 × 217)
    floor (0.598461151123047 × 131072)
    floor (78441.5)     		ty = 78441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73129 / 78441 ti = "17/73129/78441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73129/78441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73129 ÷ 217
    73129 ÷ 131072     		x = 0.557929992675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78441 ÷ 217
    78441 ÷ 131072     		y = 0.598457336425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557929992675781 × 2 - 1) × π
    0.115859985351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.36398488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598457336425781 × 2 - 1) × π
    -0.196914672851562 × 3.1415926535     		Φ = -0.618625689596825
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36398488} λ = 0.36398488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.618625689596825))-π/2
    2×atan(0.538684248480047)-π/2
    2×0.494114004213258-π/2
    0.988228008426517-1.57079632675     		φ = -0.58256832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36398488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.854797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58256832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.378706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73129 KachelY 78441 0.36398488 -0.58256832 20.854797 -33.378706
    Oben rechts KachelX + 1 73130 KachelY 78441 0.36403282 -0.58256832 20.857544 -33.378706
    Unten links KachelX 73129 KachelY + 1 78442 0.36398488 -0.58260835 20.854797 -33.381000
    Unten rechts KachelX + 1 73130 KachelY + 1 78442 0.36403282 -0.58260835 20.857544 -33.381000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58256832--0.58260835) × R
    4.00299999999687e-05 × 6371000     		dl = 255.031129999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58256832--0.58260835) × R
    4.00299999999687e-05 × 6371000     		dr = 255.031129999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36398488-0.36403282) × cos(-0.58256832) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.835052391860989 × 6371000     		do = 255.046494722745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36398488-0.36403282) × cos(-0.58260835) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.835030367869609 × 6371000     		du = 255.03976802888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58256832)-sin(-0.58260835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835052391860989-0.835030367869609)×R²
    abs(0.36403282-0.36398488)×2.20239913805154e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20239913805154e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20239913805154e-05×40589641000000     		ar = 65043.9380021844m²