Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73129 / 78407
↖ ↑ ↗
← S 33.300690°
E 20.854797°		 ← 255.28 m → S 33.300690°
E 20.857544°		 →
↑
255.29 m
↓
↑
255.29 m
↓
S 33.302986°
E 20.854797°		 ← 255.27 m →
65 167 m²		 S 33.302986°
E 20.857544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557933807373047 y=0.598201751708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557933807373047 × 217)
    floor (0.557933807373047 × 131072)
    floor (73129.5)     		tx = 73129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598201751708984 × 217)
    floor (0.598201751708984 × 131072)
    floor (78407.5)     		ty = 78407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73129 / 78407 ti = "17/73129/78407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73129/78407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73129 ÷ 217
    73129 ÷ 131072     		x = 0.557929992675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78407 ÷ 217
    78407 ÷ 131072     		y = 0.598197937011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557929992675781 × 2 - 1) × π
    0.115859985351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.36398488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598197937011719 × 2 - 1) × π
    -0.196395874023438 × 3.1415926535     		Φ = -0.616995835009743
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36398488} λ = 0.36398488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.616995835009743))-π/2
    2×atan(0.539562941349708)-π/2
    2×0.494794816185102-π/2
    0.989589632370204-1.57079632675     		φ = -0.58120669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36398488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.854797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58120669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.300690°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73129 KachelY 78407 0.36398488 -0.58120669 20.854797 -33.300690
    Oben rechts KachelX + 1 73130 KachelY 78407 0.36403282 -0.58120669 20.857544 -33.300690
    Unten links KachelX 73129 KachelY + 1 78408 0.36398488 -0.58124676 20.854797 -33.302986
    Unten rechts KachelX + 1 73130 KachelY + 1 78408 0.36403282 -0.58124676 20.857544 -33.302986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58120669--0.58124676) × R
    4.00699999999476e-05 × 6371000     		dl = 255.285969999666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58120669--0.58124676) × R
    4.00699999999476e-05 × 6371000     		dr = 255.285969999666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36398488-0.36403282) × cos(-0.58120669) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.83580074608451 × 6371000     		do = 255.275061365246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36398488-0.36403282) × cos(-0.58124676) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.835778745665684 × 6371000     		du = 255.268341871046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58120669)-sin(-0.58124676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.83580074608451-0.835778745665684)×R²
    abs(0.36403282-0.36398488)×2.20004188260514e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20004188260514e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20004188260514e-05×40589641000000     		ar = 65167.2839697836m²