Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73128 / 78411
↖ ↑ ↗
← S 33.309873°
E 20.852051°		 ← 255.25 m → S 33.309873°
E 20.854797°		 →
↑
255.22 m
↓
↑
255.22 m
↓
S 33.312168°
E 20.852051°		 ← 255.24 m →
65 144 m²		 S 33.312168°
E 20.854797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557926177978516 y=0.598232269287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557926177978516 × 217)
    floor (0.557926177978516 × 131072)
    floor (73128.5)     		tx = 73128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598232269287109 × 217)
    floor (0.598232269287109 × 131072)
    floor (78411.5)     		ty = 78411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73128 / 78411 ti = "17/73128/78411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73128/78411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73128 ÷ 217
    73128 ÷ 131072     		x = 0.55792236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78411 ÷ 217
    78411 ÷ 131072     		y = 0.598228454589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55792236328125 × 2 - 1) × π
    0.1158447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36393694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598228454589844 × 2 - 1) × π
    -0.196456909179688 × 3.1415926535     		Φ = -0.617187582608223
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36393694} λ = 0.36393694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.617187582608223))-π/2
    2×atan(0.539459491369935)-π/2
    2×0.494714689010541-π/2
    0.989429378021082-1.57079632675     		φ = -0.58136695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36393694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.852051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58136695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.309873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73128 KachelY 78411 0.36393694 -0.58136695 20.852051 -33.309873
    Oben rechts KachelX + 1 73129 KachelY 78411 0.36398488 -0.58136695 20.854797 -33.309873
    Unten links KachelX 73128 KachelY + 1 78412 0.36393694 -0.58140701 20.852051 -33.312168
    Unten rechts KachelX + 1 73129 KachelY + 1 78412 0.36398488 -0.58140701 20.854797 -33.312168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58136695--0.58140701) × R
    4.00599999998974e-05 × 6371000     		dl = 255.222259999346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58136695--0.58140701) × R
    4.00599999998974e-05 × 6371000     		dr = 255.222259999346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36393694-0.36398488) × cos(-0.58136695) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.835712747341101 × 6371000     		do = 255.248184284217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36393694-0.36398488) × cos(-0.58140701) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.835690747047438 × 6371000     		du = 255.241464828245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58136695)-sin(-0.58140701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835712747341101-0.835690747047438)×R²
    abs(0.36398488-0.36393694)×2.20002936630603e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20002936630603e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20002936630603e-05×40589641000000     		ar = 65144.1609852229m²