Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73128 / 76067
↖ ↑ ↗
← S 27.768621°
E 20.852051°		 ← 270.25 m → S 27.768621°
E 20.854797°		 →
↑
270.26 m
↓
↑
270.26 m
↓
S 27.771051°
E 20.852051°		 ← 270.25 m →
73 037 m²		 S 27.771051°
E 20.854797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557926177978516 y=0.580348968505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557926177978516 × 217)
    floor (0.557926177978516 × 131072)
    floor (73128.5)     		tx = 73128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580348968505859 × 217)
    floor (0.580348968505859 × 131072)
    floor (76067.5)     		ty = 76067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73128 / 76067 ti = "17/73128/76067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73128/76067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73128 ÷ 217
    73128 ÷ 131072     		x = 0.55792236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76067 ÷ 217
    76067 ÷ 131072     		y = 0.580345153808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55792236328125 × 2 - 1) × π
    0.1158447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36393694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580345153808594 × 2 - 1) × π
    -0.160690307617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.504823489898811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36393694} λ = 0.36393694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.504823489898811))-π/2
    2×atan(0.603612109659135)-π/2
    2×0.543071231290287-π/2
    1.08614246258057-1.57079632675     		φ = -0.48465386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36393694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.852051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48465386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.768621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73128 KachelY 76067 0.36393694 -0.48465386 20.852051 -27.768621
    Oben rechts KachelX + 1 73129 KachelY 76067 0.36398488 -0.48465386 20.854797 -27.768621
    Unten links KachelX 73128 KachelY + 1 76068 0.36393694 -0.48469628 20.852051 -27.771051
    Unten rechts KachelX + 1 73129 KachelY + 1 76068 0.36398488 -0.48469628 20.854797 -27.771051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48465386--0.48469628) × R
    4.24199999999875e-05 × 6371000     		dl = 270.25781999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48465386--0.48469628) × R
    4.24199999999875e-05 × 6371000     		dr = 270.25781999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36393694-0.36398488) × cos(-0.48465386) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.884836269469111 × 6371000     		do = 270.251772381578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36393694-0.36398488) × cos(-0.48469628) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.884816505105492 × 6371000     		du = 270.245735836194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48465386)-sin(-0.48469628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884836269469111-0.884816505105492)×R²
    abs(0.36398488-0.36393694)×1.97643636182798e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.97643636182798e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.97643636182798e-05×40589641000000     		ar = 73036.8391541463m²