Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73127 / 78409
↖ ↑ ↗
← S 33.305281°
E 20.849304°		 ← 255.21 m → S 33.305281°
E 20.852051°		 →
↑
255.29 m
↓
↑
255.29 m
↓
S 33.307577°
E 20.849304°		 ← 255.20 m →
65 150 m²		 S 33.307577°
E 20.852051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557918548583984 y=0.598217010498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557918548583984 × 217)
    floor (0.557918548583984 × 131072)
    floor (73127.5)     		tx = 73127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598217010498047 × 217)
    floor (0.598217010498047 × 131072)
    floor (78409.5)     		ty = 78409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73127 / 78409 ti = "17/73127/78409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73127/78409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73127 ÷ 217
    73127 ÷ 131072     		x = 0.557914733886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78409 ÷ 217
    78409 ÷ 131072     		y = 0.598213195800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557914733886719 × 2 - 1) × π
    0.115829467773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.36388901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598213195800781 × 2 - 1) × π
    -0.196426391601562 × 3.1415926535     		Φ = -0.617091708808983
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36388901} λ = 0.36388901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.617091708808983))-π/2
    2×atan(0.539511213880286)-π/2
    2×0.494754751543262-π/2
    0.989509503086524-1.57079632675     		φ = -0.58128682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36388901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.849304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58128682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.305281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73127 KachelY 78409 0.36388901 -0.58128682 20.849304 -33.305281
    Oben rechts KachelX + 1 73128 KachelY 78409 0.36393694 -0.58128682 20.852051 -33.305281
    Unten links KachelX 73127 KachelY + 1 78410 0.36388901 -0.58132689 20.849304 -33.307577
    Unten rechts KachelX + 1 73128 KachelY + 1 78410 0.36393694 -0.58132689 20.852051 -33.307577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58128682--0.58132689) × R
    4.00700000000587e-05 × 6371000     		dl = 255.285970000374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58128682--0.58132689) × R
    4.00700000000587e-05 × 6371000     		dr = 255.285970000374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36388901-0.36393694) × cos(-0.58128682) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.835756749395926 × 6371000     		do = 255.208377581602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36388901-0.36393694) × cos(-0.58132689) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.835734746293609 × 6371000     		du = 255.201658669612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58128682)-sin(-0.58132689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835756749395926-0.835734746293609)×R²
    abs(0.36393694-0.36388901)×2.20031023168143e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.20031023168143e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.20031023168143e-05×40589641000000     		ar = 65150.2606099158m²