Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73125 / 76699
↖ ↑ ↗
← S 29.293585°
E 20.843811°		 ← 266.37 m → S 29.293585°
E 20.846558°		 →
↑
266.37 m
↓
↑
266.37 m
↓
S 29.295981°
E 20.843811°		 ← 266.36 m →
70 952 m²		 S 29.295981°
E 20.846558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557903289794922 y=0.585170745849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557903289794922 × 217)
    floor (0.557903289794922 × 131072)
    floor (73125.5)     		tx = 73125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585170745849609 × 217)
    floor (0.585170745849609 × 131072)
    floor (76699.5)     		ty = 76699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73125 / 76699 ti = "17/73125/76699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73125/76699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73125 ÷ 217
    73125 ÷ 131072     		x = 0.557899475097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76699 ÷ 217
    76699 ÷ 131072     		y = 0.585166931152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557899475097656 × 2 - 1) × π
    0.115798950195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.36379313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585166931152344 × 2 - 1) × π
    -0.170333862304688 × 3.1415926535     		Φ = -0.535119610458687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36379313} λ = 0.36379313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.535119610458687))-π/2
    2×atan(0.58559924216168)-π/2
    2×0.529763407445758-π/2
    1.05952681489152-1.57079632675     		φ = -0.51126951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36379313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.843811°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51126951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.293585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73125 KachelY 76699 0.36379313 -0.51126951 20.843811 -29.293585
    Oben rechts KachelX + 1 73126 KachelY 76699 0.36384107 -0.51126951 20.846558 -29.293585
    Unten links KachelX 73125 KachelY + 1 76700 0.36379313 -0.51131132 20.843811 -29.295981
    Unten rechts KachelX + 1 73126 KachelY + 1 76700 0.36384107 -0.51131132 20.846558 -29.295981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51126951--0.51131132) × R
    4.1810000000031e-05 × 6371000     		dl = 266.371510000197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51126951--0.51131132) × R
    4.1810000000031e-05 × 6371000     		dr = 266.371510000197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36379313-0.36384107) × cos(-0.51126951) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.872124058633821 × 6371000     		do = 266.369135979863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36379313-0.36384107) × cos(-0.51131132) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.872103600873606 × 6371000     		du = 266.362887653311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51126951)-sin(-0.51131132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872124058633821-0.872103600873606)×R²
    abs(0.36384107-0.36379313)×2.04577602148648e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.04577602148648e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.04577602148648e-05×40589641000000     		ar = 70952.3167906351m²