Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73124 / 78437
↖ ↑ ↗
← S 33.369531°
E 20.841064°		 ← 255.07 m → S 33.369531°
E 20.843811°		 →
↑
255.03 m
↓
↑
255.03 m
↓
S 33.371825°
E 20.841064°		 ← 255.07 m →
65 051 m²		 S 33.371825°
E 20.843811°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557895660400391 y=0.598430633544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557895660400391 × 217)
    floor (0.557895660400391 × 131072)
    floor (73124.5)     		tx = 73124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598430633544922 × 217)
    floor (0.598430633544922 × 131072)
    floor (78437.5)     		ty = 78437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73124 / 78437 ti = "17/73124/78437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73124/78437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73124 ÷ 217
    73124 ÷ 131072     		x = 0.557891845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78437 ÷ 217
    78437 ÷ 131072     		y = 0.598426818847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557891845703125 × 2 - 1) × π
    0.11578369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36374519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598426818847656 × 2 - 1) × π
    -0.196853637695312 × 3.1415926535     		Φ = -0.618433941998344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36374519} λ = 0.36374519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.618433941998344))-π/2
    2×atan(0.538787549794606)-π/2
    2×0.494194068081424-π/2
    0.988388136162847-1.57079632675     		φ = -0.58240819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36374519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.841064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58240819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.369531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73124 KachelY 78437 0.36374519 -0.58240819 20.841064 -33.369531
    Oben rechts KachelX + 1 73125 KachelY 78437 0.36379313 -0.58240819 20.843811 -33.369531
    Unten links KachelX 73124 KachelY + 1 78438 0.36374519 -0.58244822 20.841064 -33.371825
    Unten rechts KachelX + 1 73125 KachelY + 1 78438 0.36379313 -0.58244822 20.843811 -33.371825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58240819--0.58244822) × R
    4.00299999999687e-05 × 6371000     		dl = 255.031129999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58240819--0.58244822) × R
    4.00299999999687e-05 × 6371000     		dr = 255.031129999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36374519-0.36379313) × cos(-0.58240819) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.835140479945639 × 6371000     		do = 255.07339909148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36374519-0.36379313) × cos(-0.58244822) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.835118461307159 × 6371000     		du = 255.066674032529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58240819)-sin(-0.58244822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835140479945639-0.835118461307159)×R²
    abs(0.36379313-0.36374519)×2.2018638479615e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.2018638479615e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.2018638479615e-05×40589641000000     		ar = 65050.799662213m²