Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73124 / 78404
↖ ↑ ↗
← S 33.293803°
E 20.841064°		 ← 255.30 m → S 33.293803°
E 20.843811°		 →
↑
255.29 m
↓
↑
255.29 m
↓
S 33.296099°
E 20.841064°		 ← 255.29 m →
65 172 m²		 S 33.296099°
E 20.843811°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557895660400391 y=0.598178863525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557895660400391 × 217)
    floor (0.557895660400391 × 131072)
    floor (73124.5)     		tx = 73124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598178863525391 × 217)
    floor (0.598178863525391 × 131072)
    floor (78404.5)     		ty = 78404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73124 / 78404 ti = "17/73124/78404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73124/78404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73124 ÷ 217
    73124 ÷ 131072     		x = 0.557891845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78404 ÷ 217
    78404 ÷ 131072     		y = 0.598175048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557891845703125 × 2 - 1) × π
    0.11578369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36374519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598175048828125 × 2 - 1) × π
    -0.19635009765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.616852024310883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36374519} λ = 0.36374519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.616852024310883))-π/2
    2×atan(0.53964054185314)-π/2
    2×0.494854917102141-π/2
    0.989709834204282-1.57079632675     		φ = -0.58108649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36374519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.841064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58108649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.293803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73124 KachelY 78404 0.36374519 -0.58108649 20.841064 -33.293803
    Oben rechts KachelX + 1 73125 KachelY 78404 0.36379313 -0.58108649 20.843811 -33.293803
    Unten links KachelX 73124 KachelY + 1 78405 0.36374519 -0.58112656 20.841064 -33.296099
    Unten rechts KachelX + 1 73125 KachelY + 1 78405 0.36379313 -0.58112656 20.843811 -33.296099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58108649--0.58112656) × R
    4.00699999999476e-05 × 6371000     		dl = 255.285969999666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58108649--0.58112656) × R
    4.00699999999476e-05 × 6371000     		dr = 255.285969999666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36374519-0.36379313) × cos(-0.58108649) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.835866733799729 × 6371000     		do = 255.295215712293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36374519-0.36379313) × cos(-0.58112656) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.835844737406571 × 6371000     		du = 255.288497447636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58108649)-sin(-0.58112656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835866733799729-0.835844737406571)×R²
    abs(0.36379313-0.36374519)×2.19963931576972e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19963931576972e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19963931576972e-05×40589641000000     		ar = 65172.4292487709m²