Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73123 / 78477
↖ ↑ ↗
← S 33.461234°
E 20.838318°		 ← 254.75 m → S 33.461234°
E 20.841064°		 →
↑
254.78 m
↓
↑
254.78 m
↓
S 33.463526°
E 20.838318°		 ← 254.74 m →
64 904 m²		 S 33.463526°
E 20.841064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557888031005859 y=0.598735809326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557888031005859 × 217)
    floor (0.557888031005859 × 131072)
    floor (73123.5)     		tx = 73123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598735809326172 × 217)
    floor (0.598735809326172 × 131072)
    floor (78477.5)     		ty = 78477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73123 / 78477 ti = "17/73123/78477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73123/78477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73123 ÷ 217
    73123 ÷ 131072     		x = 0.557884216308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78477 ÷ 217
    78477 ÷ 131072     		y = 0.598731994628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557884216308594 × 2 - 1) × π
    0.115768432617188 × 3.1415926535     		Λ = 0.36369726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598731994628906 × 2 - 1) × π
    -0.197463989257812 × 3.1415926535     		Φ = -0.620351417983147
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36369726} λ = 0.36369726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.620351417983147))-π/2
    2×atan(0.537755427458096)-π/2
    2×0.493393809599935-π/2
    0.986787619199871-1.57079632675     		φ = -0.58400871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36369726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.838318°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58400871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.461234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73123 KachelY 78477 0.36369726 -0.58400871 20.838318 -33.461234
    Oben rechts KachelX + 1 73124 KachelY 78477 0.36374519 -0.58400871 20.841064 -33.461234
    Unten links KachelX 73123 KachelY + 1 78478 0.36369726 -0.58404870 20.838318 -33.463526
    Unten rechts KachelX + 1 73124 KachelY + 1 78478 0.36374519 -0.58404870 20.841064 -33.463526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58400871--0.58404870) × R
    3.99899999999898e-05 × 6371000     		dl = 254.776289999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58400871--0.58404870) × R
    3.99899999999898e-05 × 6371000     		dr = 254.776289999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36369726-0.36374519) × cos(-0.58400871) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.834259065897097 × 6371000     		do = 254.751041908102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36369726-0.36374519) × cos(-0.58404870) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.834237015837328 × 6371000     		du = 254.744308657089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58400871)-sin(-0.58404870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.834259065897097-0.834237015837328)×R²
    abs(0.36374519-0.36369726)×2.20500597690743e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.20500597690743e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.20500597690743e-05×40589641000000     		ar = 64903.6676031751m²