Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73122 / 77406
↖ ↑ ↗
← S 30.972899°
E 20.835571°		 ← 261.88 m → S 30.972899°
E 20.838318°		 →
↑
261.85 m
↓
↑
261.85 m
↓
S 30.975254°
E 20.835571°		 ← 261.87 m →
68 571 m²		 S 30.975254°
E 20.838318°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557880401611328 y=0.590564727783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557880401611328 × 217)
    floor (0.557880401611328 × 131072)
    floor (73122.5)     		tx = 73122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590564727783203 × 217)
    floor (0.590564727783203 × 131072)
    floor (77406.5)     		ty = 77406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73122 / 77406 ti = "17/73122/77406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73122/77406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73122 ÷ 217
    73122 ÷ 131072     		x = 0.557876586914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77406 ÷ 217
    77406 ÷ 131072     		y = 0.590560913085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557876586914062 × 2 - 1) × π
    0.115753173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.36364932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590560913085938 × 2 - 1) × π
    -0.181121826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.569010998490067
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36364932} λ = 0.36364932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.569010998490067))-π/2
    2×atan(0.566085020880516)-π/2
    2×0.515108627469299-π/2
    1.0302172549386-1.57079632675     		φ = -0.54057907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36364932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.835571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54057907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.972899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73122 KachelY 77406 0.36364932 -0.54057907 20.835571 -30.972899
    Oben rechts KachelX + 1 73123 KachelY 77406 0.36369726 -0.54057907 20.838318 -30.972899
    Unten links KachelX 73122 KachelY + 1 77407 0.36364932 -0.54062017 20.835571 -30.975254
    Unten rechts KachelX + 1 73123 KachelY + 1 77407 0.36369726 -0.54062017 20.838318 -30.975254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54057907--0.54062017) × R
    4.10999999999051e-05 × 6371000     		dl = 261.848099999395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54057907--0.54062017) × R
    4.10999999999051e-05 × 6371000     		dr = 261.848099999395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36364932-0.36369726) × cos(-0.54057907) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.857410816847457 × 6371000     		do = 261.875333219771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36364932-0.36369726) × cos(-0.54062017) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.857389664724301 × 6371000     		du = 261.868872816903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54057907)-sin(-0.54062017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857410816847457-0.857389664724301)×R²
    abs(0.36369726-0.36364932)×2.11521231557876e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11521231557876e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11521231557876e-05×40589641000000     		ar = 68570.7126277195m²