Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73120 / 76064
↖ ↑ ↗
← S 27.761330°
E 20.830078°		 ← 270.21 m → S 27.761330°
E 20.832824°		 →
↑
270.26 m
↓
↑
270.26 m
↓
S 27.763760°
E 20.830078°		 ← 270.21 m →
73 026 m²		 S 27.763760°
E 20.832824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557865142822266 y=0.580326080322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557865142822266 × 217)
    floor (0.557865142822266 × 131072)
    floor (73120.5)     		tx = 73120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580326080322266 × 217)
    floor (0.580326080322266 × 131072)
    floor (76064.5)     		ty = 76064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73120 / 76064 ti = "17/73120/76064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73120/76064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73120 ÷ 217
    73120 ÷ 131072     		x = 0.557861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76064 ÷ 217
    76064 ÷ 131072     		y = 0.580322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557861328125 × 2 - 1) × π
    0.11572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36355345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580322265625 × 2 - 1) × π
    -0.16064453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.504679679199951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36355345} λ = 0.36355345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.504679679199951))-π/2
    2×atan(0.603698921780571)-π/2
    2×0.54313485788264-π/2
    1.08626971576528-1.57079632675     		φ = -0.48452661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36355345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.830078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48452661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.761330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73120 KachelY 76064 0.36355345 -0.48452661 20.830078 -27.761330
    Oben rechts KachelX + 1 73121 KachelY 76064 0.36360138 -0.48452661 20.832824 -27.761330
    Unten links KachelX 73120 KachelY + 1 76065 0.36355345 -0.48456903 20.830078 -27.763760
    Unten rechts KachelX + 1 73121 KachelY + 1 76065 0.36360138 -0.48456903 20.832824 -27.763760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48452661--0.48456903) × R
    4.24199999999875e-05 × 6371000     		dl = 270.25781999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48452661--0.48456903) × R
    4.24199999999875e-05 × 6371000     		dr = 270.25781999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36355345-0.36360138) × cos(-0.48452661) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.884895548348582 × 6371000     		do = 270.213500981539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36355345-0.36360138) × cos(-0.48456903) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.884875788761368 × 6371000     		du = 270.207467153875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48452661)-sin(-0.48456903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884895548348582-0.884875788761368)×R²
    abs(0.36360138-0.36355345)×1.97595872141187e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.97595872141187e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.97595872141187e-05×40589641000000     		ar = 73026.4963762608m²