Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7312 / 3553
↖ ↑ ↗
← N 70.837462°
W 19.335937°		 ← 801.98 m → N 70.837462°
W 19.313965°		 →
↑
802.17 m
↓
↑
802.17 m
↓
N 70.830248°
W 19.335937°		 ← 802.27 m →
643 445 m²		 N 70.830248°
W 19.313965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446319580078125 y=0.216888427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446319580078125 × 214)
    floor (0.446319580078125 × 16384)
    floor (7312.5)     		tx = 7312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216888427734375 × 214)
    floor (0.216888427734375 × 16384)
    floor (3553.5)     		ty = 3553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7312 / 3553 ti = "14/7312/3553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7312/3553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7312 ÷ 214
    7312 ÷ 16384     		x = 0.4462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3553 ÷ 214
    3553 ÷ 16384     		y = 0.21685791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4462890625 × 2 - 1) × π
    -0.107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33747577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21685791015625 × 2 - 1) × π
    0.5662841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.77903421869952
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33747577} λ = -0.33747577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77903421869952))-π/2
    2×atan(5.92413223874542)-π/2
    2×1.40357163129026-π/2
    2.80714326258051-1.57079632675     		φ = 1.23634694
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33747577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.335937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23634694 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.837462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7312 KachelY 3553 -0.33747577 1.23634694 -19.335937 70.837462
    Oben rechts KachelX + 1 7313 KachelY 3553 -0.33709228 1.23634694 -19.313965 70.837462
    Unten links KachelX 7312 KachelY + 1 3554 -0.33747577 1.23622103 -19.335937 70.830248
    Unten rechts KachelX + 1 7313 KachelY + 1 3554 -0.33709228 1.23622103 -19.313965 70.830248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23634694-1.23622103) × R
    0.000125909999999951 × 6371000     		dl = 802.17260999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23634694-1.23622103) × R
    0.000125909999999951 × 6371000     		dr = 802.17260999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33747577--0.33709228) × cos(1.23634694) × R
    0.000383489999999986 × 0.32824911527538 × 6371000     		do = 801.983093245194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33747577--0.33709228) × cos(1.23622103) × R
    0.000383489999999986 × 0.328368046150018 × 6371000     		du = 802.273666917097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23634694)-sin(1.23622103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32824911527538-0.328368046150018)×R²
    abs(-0.33709228--0.33747577)×0.000118930874637824×R²
    0.000383489999999986×0.000118930874637824×6371000²
    0.000383489999999986×0.000118930874637824×40589641000000     		ar = 643445.417054552m²